Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73366 / 55402
↖ ↑ ↗
← N 26.799558°
E 21.505737°		 ← 272.62 m → N 26.799558°
E 21.508484°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.797106°
E 21.505737°		 ← 272.63 m →
74 321 m²		 N 26.797106°
E 21.508484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559741973876953 y=0.422687530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559741973876953 × 217)
    floor (0.559741973876953 × 131072)
    floor (73366.5)     		tx = 73366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422687530517578 × 217)
    floor (0.422687530517578 × 131072)
    floor (55402.5)     		ty = 55402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73366 / 55402 ti = "17/73366/55402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73366/55402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73366 ÷ 217
    73366 ÷ 131072     		x = 0.559738159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55402 ÷ 217
    55402 ÷ 131072     		y = 0.422683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559738159179688 × 2 - 1) × π
    0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422683715820312 × 2 - 1) × π
    0.154632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.485792540749649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37534592} λ = 0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485792540749649))-π/2
    2×atan(1.62546274394717)-π/2
    2×1.0192684236514-π/2
    2.0385368473028-1.57079632675     		φ = 0.46774052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46774052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.799558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73366 KachelY 55402 0.37534592 0.46774052 21.505737 26.799558
    Oben rechts KachelX + 1 73367 KachelY 55402 0.37539386 0.46774052 21.508484 26.799558
    Unten links KachelX 73366 KachelY + 1 55403 0.37534592 0.46769773 21.505737 26.797106
    Unten rechts KachelX + 1 73367 KachelY + 1 55403 0.37539386 0.46769773 21.508484 26.797106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46774052-0.46769773) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dl = 272.615090000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46774052-0.46769773) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dr = 272.615090000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37534592-0.37539386) × cos(0.46774052) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892589298990252 × 6371000     		do = 272.619747160316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37534592-0.37539386) × cos(0.46769773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892608590928215 × 6371000     		du = 272.625639414744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46774052)-sin(0.46769773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892589298990252-0.892608590928215)×R²
    abs(0.37539386-0.37534592)×1.92919379632395e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92919379632395e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92919379632395e-05×40589641000000     		ar = 74321.0600779961m²