Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73365 / 76440
↖ ↑ ↗
← S 28.671311°
E 21.502991°		 ← 267.92 m → S 28.671311°
E 21.505737°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
S 28.673720°
E 21.502991°		 ← 267.91 m →
71 775 m²		 S 28.673720°
E 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559734344482422 y=0.583194732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559734344482422 × 217)
    floor (0.559734344482422 × 131072)
    floor (73365.5)     		tx = 73365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583194732666016 × 217)
    floor (0.583194732666016 × 131072)
    floor (76440.5)     		ty = 76440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73365 / 76440 ti = "17/73365/76440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73365/76440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73365 ÷ 217
    73365 ÷ 131072     		x = 0.559730529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76440 ÷ 217
    76440 ÷ 131072     		y = 0.58319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559730529785156 × 2 - 1) × π
    0.119461059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37529799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.522703953457092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37529799} λ = 0.37529799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522703953457092))-π/2
    2×atan(0.592915163499771)-π/2
    2×0.535193775231447-π/2
    1.07038755046289-1.57079632675     		φ = -0.50040878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37529799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.502991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50040878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.671311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73365 KachelY 76440 0.37529799 -0.50040878 21.502991 -28.671311
    Oben rechts KachelX + 1 73366 KachelY 76440 0.37534592 -0.50040878 21.505737 -28.671311
    Unten links KachelX 73365 KachelY + 1 76441 0.37529799 -0.50045083 21.502991 -28.673720
    Unten rechts KachelX + 1 73366 KachelY + 1 76441 0.37534592 -0.50045083 21.505737 -28.673720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50040878--0.50045083) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50040878--0.50045083) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37529799-0.37534592) × cos(-0.50040878) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877386509001661 × 6371000     		do = 267.920525483214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37529799-0.37534592) × cos(-0.50045083) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877366333298813 × 6371000     		du = 267.914364589636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50040878)-sin(-0.50045083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877386509001661-0.877366333298813)×R²
    abs(0.37534592-0.37529799)×2.01757028474026e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01757028474026e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01757028474026e-05×40589641000000     		ar = 71775.2308904952m²