Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73365 / 55401
↖ ↑ ↗
← N 26.802009°
E 21.502991°		 ← 272.56 m → N 26.802009°
E 21.505737°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.799558°
E 21.502991°		 ← 272.56 m →
74 304 m²		 N 26.799558°
E 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559734344482422 y=0.422679901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559734344482422 × 217)
    floor (0.559734344482422 × 131072)
    floor (73365.5)     		tx = 73365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422679901123047 × 217)
    floor (0.422679901123047 × 131072)
    floor (55401.5)     		ty = 55401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73365 / 55401 ti = "17/73365/55401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73365/55401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73365 ÷ 217
    73365 ÷ 131072     		x = 0.559730529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55401 ÷ 217
    55401 ÷ 131072     		y = 0.422676086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559730529785156 × 2 - 1) × π
    0.119461059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37529799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422676086425781 × 2 - 1) × π
    0.154647827148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.485840477649269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37529799} λ = 0.37529799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485840477649269))-π/2
    2×atan(1.6255406654592)-π/2
    2×1.01928981740201-π/2
    2.03857963480401-1.57079632675     		φ = 0.46778331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37529799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.502991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46778331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.802009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73365 KachelY 55401 0.37529799 0.46778331 21.502991 26.802009
    Oben rechts KachelX + 1 73366 KachelY 55401 0.37534592 0.46778331 21.505737 26.802009
    Unten links KachelX 73365 KachelY + 1 55402 0.37529799 0.46774052 21.502991 26.799558
    Unten rechts KachelX + 1 73366 KachelY + 1 55402 0.37534592 0.46774052 21.505737 26.799558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46778331-0.46774052) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dl = 272.615090000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46778331-0.46774052) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dr = 272.615090000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37529799-0.37534592) × cos(0.46778331) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892570005417972 × 6371000     		do = 272.556988771394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37529799-0.37534592) × cos(0.46774052) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892589298990252 × 6371000     		du = 272.562880295792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46778331)-sin(0.46774052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892570005417972-0.892589298990252)×R²
    abs(0.37534592-0.37529799)×1.92935722801435e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92935722801435e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92935722801435e-05×40589641000000     		ar = 74303.9510945709m²