Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73363 / 76437
↖ ↑ ↗
← S 28.664081°
E 21.497497°		 ← 267.99 m → S 28.664081°
E 21.500244°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.666491°
E 21.497497°		 ← 267.99 m →
71 829 m²		 S 28.666491°
E 21.500244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559719085693359 y=0.583171844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559719085693359 × 217)
    floor (0.559719085693359 × 131072)
    floor (73363.5)     		tx = 73363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583171844482422 × 217)
    floor (0.583171844482422 × 131072)
    floor (76437.5)     		ty = 76437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73363 / 76437 ti = "17/73363/76437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73363/76437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73363 ÷ 217
    73363 ÷ 131072     		x = 0.559715270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76437 ÷ 217
    76437 ÷ 131072     		y = 0.583168029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559715270996094 × 2 - 1) × π
    0.119430541992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.37520211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583168029785156 × 2 - 1) × π
    -0.166336059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.522560142758232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37520211} λ = 0.37520211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522560142758232))-π/2
    2×atan(0.593000437175286)-π/2
    2×0.535256866191474-π/2
    1.07051373238295-1.57079632675     		φ = -0.50028259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37520211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.497497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50028259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.664081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73363 KachelY 76437 0.37520211 -0.50028259 21.497497 -28.664081
    Oben rechts KachelX + 1 73364 KachelY 76437 0.37525005 -0.50028259 21.500244 -28.664081
    Unten links KachelX 73363 KachelY + 1 76438 0.37520211 -0.50032466 21.497497 -28.666491
    Unten rechts KachelX + 1 73364 KachelY + 1 76438 0.37525005 -0.50032466 21.500244 -28.666491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50028259--0.50032466) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50028259--0.50032466) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37520211-0.37525005) × cos(-0.50028259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877447045988619 × 6371000     		do = 267.994913332023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37520211-0.37525005) × cos(-0.50032466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877426865347337 × 6371000     		du = 267.988749644725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50028259)-sin(-0.50032466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877447045988619-0.877426865347337)×R²
    abs(0.37525005-0.37520211)×2.01806412818417e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01806412818417e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01806412818417e-05×40589641000000     		ar = 71829.3065809179m²