Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73361 / 61457
↖ ↑ ↗
← N 11.132592°
E 21.492004°		 ← 299.68 m → N 11.132592°
E 21.494751°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
N 11.129897°
E 21.492004°		 ← 299.68 m →
89 812 m²		 N 11.129897°
E 21.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559703826904297 y=0.468883514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559703826904297 × 217)
    floor (0.559703826904297 × 131072)
    floor (73361.5)     		tx = 73361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468883514404297 × 217)
    floor (0.468883514404297 × 131072)
    floor (61457.5)     		ty = 61457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73361 / 61457 ti = "17/73361/61457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73361/61457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73361 ÷ 217
    73361 ÷ 131072     		x = 0.559700012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61457 ÷ 217
    61457 ÷ 131072     		y = 0.468879699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559700012207031 × 2 - 1) × π
    0.119400024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.37510624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468879699707031 × 2 - 1) × π
    0.0622406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.195534613550209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37510624} λ = 0.37510624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.195534613550209))-π/2
    2×atan(1.2159608819168)-π/2
    2×0.882548357392964-π/2
    1.76509671478593-1.57079632675     		φ = 0.19430039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37510624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.492004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19430039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.132592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73361 KachelY 61457 0.37510624 0.19430039 21.492004 11.132592
    Oben rechts KachelX + 1 73362 KachelY 61457 0.37515418 0.19430039 21.494751 11.132592
    Unten links KachelX 73361 KachelY + 1 61458 0.37510624 0.19425335 21.492004 11.129897
    Unten rechts KachelX + 1 73362 KachelY + 1 61458 0.37515418 0.19425335 21.494751 11.129897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19430039-0.19425335) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19430039-0.19425335) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37510624-0.37515418) × cos(0.19430039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981182990455126 × 6371000     		do = 299.67854093532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37510624-0.37515418) × cos(0.19425335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981192071859198 × 6371000     		du = 299.681314629879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19430039)-sin(0.19425335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981182990455126-0.981192071859198)×R²
    abs(0.37515418-0.37510624)×9.08140407152036e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.08140407152036e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.08140407152036e-06×40589641000000     		ar = 89811.6289848101m²