Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73360 / 55408
↖ ↑ ↗
← N 26.784848°
E 21.489258°		 ← 272.66 m → N 26.784848°
E 21.492004°		 →
↑
272.68 m
↓
↑
272.68 m
↓
N 26.782395°
E 21.489258°		 ← 272.66 m →
74 348 m²		 N 26.782395°
E 21.492004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559696197509766 y=0.422733306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559696197509766 × 217)
    floor (0.559696197509766 × 131072)
    floor (73360.5)     		tx = 73360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422733306884766 × 217)
    floor (0.422733306884766 × 131072)
    floor (55408.5)     		ty = 55408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73360 / 55408 ti = "17/73360/55408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73360/55408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73360 ÷ 217
    73360 ÷ 131072     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55408 ÷ 217
    55408 ÷ 131072     		y = 0.4227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4227294921875 × 2 - 1) × π
    0.154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485504919351929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485504919351929))-π/2
    2×atan(1.62499529330844)-π/2
    2×1.01914005143848-π/2
    2.03828010287697-1.57079632675     		φ = 0.46748378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46748378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.784848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73360 KachelY 55408 0.37505830 0.46748378 21.489258 26.784848
    Oben rechts KachelX + 1 73361 KachelY 55408 0.37510624 0.46748378 21.492004 26.784848
    Unten links KachelX 73360 KachelY + 1 55409 0.37505830 0.46744098 21.489258 26.782395
    Unten rechts KachelX + 1 73361 KachelY + 1 55409 0.37510624 0.46744098 21.492004 26.782395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46748378-0.46744098) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dl = 272.678800000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46748378-0.46744098) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dr = 272.678800000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37510624) × cos(0.46748378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892705026102043 × 6371000     		do = 272.655093198757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37510624) × cos(0.46744098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892724312739397 × 6371000     		du = 272.660983834243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46748378)-sin(0.46744098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892705026102043-0.892724312739397)×R²
    abs(0.37510624-0.37505830)×1.92866373533995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92866373533995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92866373533995e-05×40589641000000     		ar = 74348.0667643978m²