Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73357 / 76421
↖ ↑ ↗
← S 28.625515°
E 21.481018°		 ← 268.09 m → S 28.625515°
E 21.483765°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.627925°
E 21.481018°		 ← 268.09 m →
71 856 m²		 S 28.627925°
E 21.483765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559673309326172 y=0.583049774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559673309326172 × 217)
    floor (0.559673309326172 × 131072)
    floor (73357.5)     		tx = 73357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583049774169922 × 217)
    floor (0.583049774169922 × 131072)
    floor (76421.5)     		ty = 76421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73357 / 76421 ti = "17/73357/76421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73357/76421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73357 ÷ 217
    73357 ÷ 131072     		x = 0.559669494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76421 ÷ 217
    76421 ÷ 131072     		y = 0.583045959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559669494628906 × 2 - 1) × π
    0.119338989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.37491449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583045959472656 × 2 - 1) × π
    -0.166091918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.521793152364311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37491449} λ = 0.37491449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521793152364311))-π/2
    2×atan(0.59345543728224)-π/2
    2×0.535593424799976-π/2
    1.07118684959995-1.57079632675     		φ = -0.49960948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37491449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.481018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49960948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.625515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73357 KachelY 76421 0.37491449 -0.49960948 21.481018 -28.625515
    Oben rechts KachelX + 1 73358 KachelY 76421 0.37496243 -0.49960948 21.483765 -28.625515
    Unten links KachelX 73357 KachelY + 1 76422 0.37491449 -0.49965155 21.481018 -28.627925
    Unten rechts KachelX + 1 73358 KachelY + 1 76422 0.37496243 -0.49965155 21.483765 -28.627925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49960948--0.49965155) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49960948--0.49965155) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37491449-0.37496243) × cos(-0.49960948) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877769720228704 × 6371000     		do = 268.09346635058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37491449-0.37496243) × cos(-0.49965155) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877749564439022 × 6371000     		du = 268.087310253601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49960948)-sin(-0.49965155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877769720228704-0.877749564439022)×R²
    abs(0.37496243-0.37491449)×2.01557896825078e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01557896825078e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01557896825078e-05×40589641000000     		ar = 71855.7225636779m²