Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73354 / 61325
↖ ↑ ↗
← N 11.488099°
E 21.472778°		 ← 299.31 m → N 11.488099°
E 21.475525°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.485408°
E 21.472778°		 ← 299.31 m →
89 586 m²		 N 11.485408°
E 21.475525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559650421142578 y=0.467876434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559650421142578 × 217)
    floor (0.559650421142578 × 131072)
    floor (73354.5)     		tx = 73354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467876434326172 × 217)
    floor (0.467876434326172 × 131072)
    floor (61325.5)     		ty = 61325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73354 / 61325 ti = "17/73354/61325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73354/61325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73354 ÷ 217
    73354 ÷ 131072     		x = 0.559646606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61325 ÷ 217
    61325 ÷ 131072     		y = 0.467872619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559646606445312 × 2 - 1) × π
    0.119293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37477068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467872619628906 × 2 - 1) × π
    0.0642547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.201862284300056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37477068} λ = 0.37477068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201862284300056))-π/2
    2×atan(1.22367947663128)-π/2
    2×0.885650743371574-π/2
    1.77130148674315-1.57079632675     		φ = 0.20050516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37477068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20050516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.488099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73354 KachelY 61325 0.37477068 0.20050516 21.472778 11.488099
    Oben rechts KachelX + 1 73355 KachelY 61325 0.37481862 0.20050516 21.475525 11.488099
    Unten links KachelX 73354 KachelY + 1 61326 0.37477068 0.20045818 21.472778 11.485408
    Unten rechts KachelX + 1 73355 KachelY + 1 61326 0.37481862 0.20045818 21.475525 11.485408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20050516-0.20045818) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dl = 299.309579999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20050516-0.20045818) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dr = 299.309579999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37477068-0.37481862) × cos(0.20050516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979966092996427 × 6371000     		do = 299.306869128146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37477068-0.37481862) × cos(0.20045818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		du = 299.309726588094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20050516)-sin(0.20045818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979966092996427-0.979975448658289)×R²
    abs(0.37481862-0.37477068)×9.35566186233139e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.35566186233139e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.35566186233139e-06×40589641000000     		ar = 89585.8409388407m²