Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73354 / 55394
↖ ↑ ↗
← N 26.819168°
E 21.472778°		 ← 272.57 m → N 26.819168°
E 21.475525°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.816717°
E 21.472778°		 ← 272.58 m →
74 291 m²		 N 26.816717°
E 21.475525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559650421142578 y=0.422626495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559650421142578 × 217)
    floor (0.559650421142578 × 131072)
    floor (73354.5)     		tx = 73354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422626495361328 × 217)
    floor (0.422626495361328 × 131072)
    floor (55394.5)     		ty = 55394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73354 / 55394 ti = "17/73354/55394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73354/55394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73354 ÷ 217
    73354 ÷ 131072     		x = 0.559646606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55394 ÷ 217
    55394 ÷ 131072     		y = 0.422622680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559646606445312 × 2 - 1) × π
    0.119293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37477068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    0.154754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.48617603594661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37477068} λ = 0.37477068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48617603594661))-π/2
    2×atan(1.62608622064483)-π/2
    2×1.01943956070672-π/2
    2.03887912141345-1.57079632675     		φ = 0.46808279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37477068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46808279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.819168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73354 KachelY 55394 0.37477068 0.46808279 21.472778 26.819168
    Oben rechts KachelX + 1 73355 KachelY 55394 0.37481862 0.46808279 21.475525 26.819168
    Unten links KachelX 73354 KachelY + 1 55395 0.37477068 0.46804001 21.472778 26.816717
    Unten rechts KachelX + 1 73355 KachelY + 1 55395 0.37481862 0.46804001 21.475525 26.816717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46808279-0.46804001) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46808279-0.46804001) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37477068-0.37481862) × cos(0.46808279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892434927212916 × 6371000     		do = 272.572598045672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37477068-0.37481862) × cos(0.46804001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892454227711136 × 6371000     		du = 272.578492914623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46808279)-sin(0.46804001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892434927212916-0.892454227711136)×R²
    abs(0.37481862-0.37477068)×1.93004982196321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93004982196321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93004982196321e-05×40589641000000     		ar = 74290.8410862474m²