Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73350 / 55434
↖ ↑ ↗
← N 26.721080°
E 21.461792°		 ← 272.81 m → N 26.721080°
E 21.464539°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.718627°
E 21.461792°		 ← 272.81 m →
74 425 m²		 N 26.718627°
E 21.464539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559619903564453 y=0.422931671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559619903564453 × 217)
    floor (0.559619903564453 × 131072)
    floor (73350.5)     		tx = 73350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422931671142578 × 217)
    floor (0.422931671142578 × 131072)
    floor (55434.5)     		ty = 55434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73350 / 55434 ti = "17/73350/55434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73350/55434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73350 ÷ 217
    73350 ÷ 131072     		x = 0.559616088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55434 ÷ 217
    55434 ÷ 131072     		y = 0.422927856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559616088867188 × 2 - 1) × π
    0.119232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37457893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422927856445312 × 2 - 1) × π
    0.154144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.484258559961807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37457893} λ = 0.37457893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484258559961807))-π/2
    2×atan(1.62297122678489)-π/2
    2×1.01858357964658-π/2
    2.03716715929316-1.57079632675     		φ = 0.46637083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37457893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46637083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.721080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73350 KachelY 55434 0.37457893 0.46637083 21.461792 26.721080
    Oben rechts KachelX + 1 73351 KachelY 55434 0.37462687 0.46637083 21.464539 26.721080
    Unten links KachelX 73350 KachelY + 1 55435 0.37457893 0.46632801 21.461792 26.718627
    Unten rechts KachelX + 1 73351 KachelY + 1 55435 0.37462687 0.46632801 21.464539 26.718627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46637083-0.46632801) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46637083-0.46632801) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37457893-0.37462687) × cos(0.46637083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893206014546951 × 6371000     		do = 272.80810796559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37457893-0.37462687) × cos(0.46632801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893225267640754 × 6371000     		du = 272.813988356012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46637083)-sin(0.46632801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893206014546951-0.893225267640754)×R²
    abs(0.37462687-0.37457893)×1.92530938031288e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92530938031288e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92530938031288e-05×40589641000000     		ar = 74424.5508344422m²