Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7335 / 8610
↖ ↑ ↗
← N 78.731354°
W139.707642°		 ← 119.37 m → N 78.731354°
W139.702148°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
N 78.730280°
W139.707642°		 ← 119.38 m →
14 252 m²		 N 78.730280°
W139.702148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111930847167969 y=0.131385803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111930847167969 × 216)
    floor (0.111930847167969 × 65536)
    floor (7335.5)     		tx = 7335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131385803222656 × 216)
    floor (0.131385803222656 × 65536)
    floor (8610.5)     		ty = 8610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7335 / 8610 ti = "16/7335/8610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7335/8610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7335 ÷ 216
    7335 ÷ 65536     		x = 0.111923217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8610 ÷ 216
    8610 ÷ 65536     		y = 0.131378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111923217773438 × 2 - 1) × π
    -0.776153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.43835834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131378173828125 × 2 - 1) × π
    0.73724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31611924204263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43835834} λ = -2.43835834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31611924204263))-π/2
    2×atan(10.1362615022784)-π/2
    2×1.47245883824247-π/2
    2.94491767648495-1.57079632675     		φ = 1.37412135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43835834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.707642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37412135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.731354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7335 KachelY 8610 -2.43835834 1.37412135 -139.707642 78.731354
    Oben rechts KachelX + 1 7336 KachelY 8610 -2.43826246 1.37412135 -139.702148 78.731354
    Unten links KachelX 7335 KachelY + 1 8611 -2.43835834 1.37410261 -139.707642 78.730280
    Unten rechts KachelX + 1 7336 KachelY + 1 8611 -2.43826246 1.37410261 -139.702148 78.730280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37412135-1.37410261) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37412135-1.37410261) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43835834--2.43826246) × cos(1.37412135) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.195409494464722 × 6371000     		do = 119.366178900302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43835834--2.43826246) × cos(1.37410261) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.195427873155798 × 6371000     		du = 119.377405550946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37412135)-sin(1.37410261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195409494464722-0.195427873155798)×R²
    abs(-2.43826246--2.43835834)×1.83786910763206e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.83786910763206e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.83786910763206e-05×40589641000000     		ar = 14252.101478878m²