Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7335 / 5629
↖ ↑ ↗
← N 48.965794°
W 18.830566°		 ← 1 603.99 m → N 48.965794°
W 18.808594°		 →
↑
1 604.22 m
↓
↑
1 604.22 m
↓
N 48.951367°
W 18.830566°		 ← 1 604.46 m →
2 573 527 m²		 N 48.951367°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447723388671875 y=0.343597412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447723388671875 × 214)
    floor (0.447723388671875 × 16384)
    floor (7335.5)     		tx = 7335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343597412109375 × 214)
    floor (0.343597412109375 × 16384)
    floor (5629.5)     		ty = 5629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7335 / 5629 ti = "14/7335/5629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7335/5629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7335 ÷ 214
    7335 ÷ 16384     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5629 ÷ 214
    5629 ÷ 16384     		y = 0.34356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982898189809631))-π/2
    2×atan(2.67218954273179)-π/2
    2×1.21270532484704-π/2
    2.42541064969408-1.57079632675     		φ = 0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7335 KachelY 5629 -0.32865538 0.85461432 -18.830566 48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 7336 KachelY 5629 -0.32827189 0.85461432 -18.808594 48.965794
    Unten links KachelX 7335 KachelY + 1 5630 -0.32865538 0.85436252 -18.830566 48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 7336 KachelY + 1 5630 -0.32827189 0.85436252 -18.808594 48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85461432-0.85436252) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dl = 1604.21780000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85461432-0.85436252) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dr = 1604.21780000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(0.85461432) × R
    0.000383489999999986 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 1603.99368068473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(0.85436252) × R
    0.000383489999999986 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 1604.45768724203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85461432)-sin(0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656699400236557)×R²
    abs(-0.32827189--0.32865538)×0.000189916399980561×R²
    0.000383489999999986×0.000189916399980561×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189916399980561×40589641000000     		ar = 2573527.41102895m²