Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7335 / 4964
↖ ↑ ↗
← N 57.657158°
W 18.830566°		 ← 1 307.08 m → N 57.657158°
W 18.808594°		 →
↑
1 307.33 m
↓
↑
1 307.33 m
↓
N 57.645401°
W 18.830566°		 ← 1 307.50 m →
1 709 063 m²		 N 57.645401°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447723388671875 y=0.303009033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447723388671875 × 214)
    floor (0.447723388671875 × 16384)
    floor (7335.5)     		tx = 7335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303009033203125 × 214)
    floor (0.303009033203125 × 16384)
    floor (4964.5)     		ty = 4964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7335 / 4964 ti = "14/7335/4964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7335/4964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7335 ÷ 214
    7335 ÷ 16384     		x = 0.44769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4964 ÷ 214
    4964 ÷ 16384     		y = 0.302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32865538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302978515625 × 2 - 1) × π
    0.39404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23792249578833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32865538} λ = -0.32865538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23792249578833))-π/2
    2×atan(3.44844186532914)-π/2
    2×1.2885517820888-π/2
    2.5771035641776-1.57079632675     		φ = 1.00630724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32865538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.830566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00630724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.657158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7335 KachelY 4964 -0.32865538 1.00630724 -18.830566 57.657158
    Oben rechts KachelX + 1 7336 KachelY 4964 -0.32827189 1.00630724 -18.808594 57.657158
    Unten links KachelX 7335 KachelY + 1 4965 -0.32865538 1.00610204 -18.830566 57.645401
    Unten rechts KachelX + 1 7336 KachelY + 1 4965 -0.32827189 1.00610204 -18.808594 57.645401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00630724-1.00610204) × R
    0.000205199999999905 × 6371000     		dl = 1307.3291999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00630724-1.00610204) × R
    0.000205199999999905 × 6371000     		dr = 1307.3291999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(1.00630724) × R
    0.000383489999999986 × 0.53498423468071 × 6371000     		do = 1307.0813945887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32865538--0.32827189) × cos(1.00610204) × R
    0.000383489999999986 × 0.535157589107044 × 6371000     		du = 1307.50493668703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00630724)-sin(1.00610204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53498423468071-0.535157589107044)×R²
    abs(-0.32827189--0.32865538)×0.000173354426334149×R²
    0.000383489999999986×0.000173354426334149×6371000²
    0.000383489999999986×0.000173354426334149×40589641000000     		ar = 1709062.53439406m²