Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73348 / 61452
↖ ↑ ↗
← N 11.146067°
E 21.456299°		 ← 299.66 m → N 11.146067°
E 21.459046°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
N 11.143371°
E 21.456299°		 ← 299.67 m →
89 807 m²		 N 11.143371°
E 21.459046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559604644775391 y=0.468845367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559604644775391 × 217)
    floor (0.559604644775391 × 131072)
    floor (73348.5)     		tx = 73348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468845367431641 × 217)
    floor (0.468845367431641 × 131072)
    floor (61452.5)     		ty = 61452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73348 / 61452 ti = "17/73348/61452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73348/61452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73348 ÷ 217
    73348 ÷ 131072     		x = 0.559600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61452 ÷ 217
    61452 ÷ 131072     		y = 0.468841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559600830078125 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468841552734375 × 2 - 1) × π
    0.06231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.195774298048309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37448306} λ = 0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.195774298048309))-π/2
    2×atan(1.21625236382094)-π/2
    2×0.882665941847407-π/2
    1.76533188369481-1.57079632675     		φ = 0.19453556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19453556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.146067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73348 KachelY 61452 0.37448306 0.19453556 21.456299 11.146067
    Oben rechts KachelX + 1 73349 KachelY 61452 0.37453100 0.19453556 21.459046 11.146067
    Unten links KachelX 73348 KachelY + 1 61453 0.37448306 0.19448852 21.456299 11.143371
    Unten rechts KachelX + 1 73349 KachelY + 1 61453 0.37453100 0.19448852 21.459046 11.143371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19453556-0.19448852) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19453556-0.19448852) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37448306-0.37453100) × cos(0.19453556) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981137556667637 × 6371000     		do = 299.664664287155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37448306-0.37453100) × cos(0.19448852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981146648925743 × 6371000     		du = 299.667441296816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19453556)-sin(0.19448852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981137556667637-0.981146648925743)×R²
    abs(0.37453100-0.37448306)×9.09225810608039e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.09225810608039e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.09225810608039e-06×40589641000000     		ar = 89807.4707633186m²