Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73345 / 76417
↖ ↑ ↗
← S 28.615871°
E 21.448059°		 ← 268.12 m → S 28.615871°
E 21.450806°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.618282°
E 21.448059°		 ← 268.11 m →
71 879 m²		 S 28.618282°
E 21.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559581756591797 y=0.583019256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559581756591797 × 217)
    floor (0.559581756591797 × 131072)
    floor (73345.5)     		tx = 73345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583019256591797 × 217)
    floor (0.583019256591797 × 131072)
    floor (76417.5)     		ty = 76417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73345 / 76417 ti = "17/73345/76417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73345/76417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73345 ÷ 217
    73345 ÷ 131072     		x = 0.559577941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76417 ÷ 217
    76417 ÷ 131072     		y = 0.583015441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559577941894531 × 2 - 1) × π
    0.119155883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.37433925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583015441894531 × 2 - 1) × π
    -0.166030883789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.521601404765831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37433925} λ = 0.37433925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521601404765831))-π/2
    2×atan(0.593569241847671)-π/2
    2×0.535677583783132-π/2
    1.07135516756626-1.57079632675     		φ = -0.49944116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37433925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.448059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49944116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.615871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73345 KachelY 76417 0.37433925 -0.49944116 21.448059 -28.615871
    Oben rechts KachelX + 1 73346 KachelY 76417 0.37438719 -0.49944116 21.450806 -28.615871
    Unten links KachelX 73345 KachelY + 1 76418 0.37433925 -0.49948324 21.448059 -28.618282
    Unten rechts KachelX + 1 73346 KachelY + 1 76418 0.37438719 -0.49948324 21.450806 -28.618282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49944116--0.49948324) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49944116--0.49948324) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37433925-0.37438719) × cos(-0.49944116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877850347008966 × 6371000     		do = 268.118091844294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37433925-0.37438719) × cos(-0.49948324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87783019264546 × 6371000     		du = 268.111936182907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49944116)-sin(-0.49948324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877850347008966-0.87783019264546)×R²
    abs(0.37438719-0.37433925)×2.01543635054424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01543635054424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01543635054424e-05×40589641000000     		ar = 71879.4045507058m²