Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73345 / 55422
↖ ↑ ↗
← N 26.750516°
E 21.448059°		 ← 272.74 m → N 26.750516°
E 21.450806°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 26.748063°
E 21.448059°		 ← 272.74 m →
74 388 m²		 N 26.748063°
E 21.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559581756591797 y=0.422840118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559581756591797 × 217)
    floor (0.559581756591797 × 131072)
    floor (73345.5)     		tx = 73345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422840118408203 × 217)
    floor (0.422840118408203 × 131072)
    floor (55422.5)     		ty = 55422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73345 / 55422 ti = "17/73345/55422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73345/55422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73345 ÷ 217
    73345 ÷ 131072     		x = 0.559577941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55422 ÷ 217
    55422 ÷ 131072     		y = 0.422836303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559577941894531 × 2 - 1) × π
    0.119155883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.37433925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422836303710938 × 2 - 1) × π
    0.154327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.484833802757248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37433925} λ = 0.37433925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484833802757248))-π/2
    2×atan(1.62390509786586)-π/2
    2×1.01884045157507-π/2
    2.03768090315015-1.57079632675     		φ = 0.46688458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37433925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.448059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46688458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.750516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73345 KachelY 55422 0.37433925 0.46688458 21.448059 26.750516
    Oben rechts KachelX + 1 73346 KachelY 55422 0.37438719 0.46688458 21.450806 26.750516
    Unten links KachelX 73345 KachelY + 1 55423 0.37433925 0.46684177 21.448059 26.748063
    Unten rechts KachelX + 1 73346 KachelY + 1 55423 0.37438719 0.46684177 21.450806 26.748063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46688458-0.46684177) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dl = 272.742510000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46688458-0.46684177) × R
    4.28100000000042e-05 × 6371000     		dr = 272.742510000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37433925-0.37438719) × cos(0.46688458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892974890197277 × 6371000     		do = 272.737516639743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37433925-0.37438719) × cos(0.46684177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892994158437506 × 6371000     		du = 272.743401656274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46688458)-sin(0.46684177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892974890197277-0.892994158437506)×R²
    abs(0.37438719-0.37433925)×1.9268240228798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9268240228798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9268240228798e-05×40589641000000     		ar = 74387.9174179462m²