Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73344 / 76160
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
E 21.445312°		 ← 269.69 m → S 27.994402°
E 21.448059°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 27.996826°
E 21.445312°		 ← 269.68 m →
72 713 m²		 S 27.996826°
E 21.448059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559574127197266 y=0.581058502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559574127197266 × 217)
    floor (0.559574127197266 × 131072)
    floor (73344.5)     		tx = 73344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581058502197266 × 217)
    floor (0.581058502197266 × 131072)
    floor (76160.5)     		ty = 76160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73344 / 76160 ti = "17/73344/76160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73344/76160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73344 ÷ 217
    73344 ÷ 131072     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76160 ÷ 217
    76160 ÷ 131072     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73344 KachelY 76160 0.37429131 -0.48859448 21.445312 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 73345 KachelY 76160 0.37433925 -0.48859448 21.448059 -27.994402
    Unten links KachelX 73344 KachelY + 1 76161 0.37429131 -0.48863680 21.445312 -27.996826
    Unten rechts KachelX + 1 73345 KachelY + 1 76161 0.37433925 -0.48863680 21.448059 -27.996826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48863680) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48863680) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.37433925) × cos(-0.48859448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 269.688931232824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.37433925) × cos(-0.48863680) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882973595796443 × 6371000     		du = 269.682863896725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48863680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.882973595796443)×R²
    abs(0.37433925-0.37429131)×1.98651760631163e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98651760631163e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98651760631163e-05×40589641000000     		ar = 72712.9058860895m²