Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73343 / 61335
↖ ↑ ↗
← N 11.461182°
E 21.442566°		 ← 299.27 m → N 11.461182°
E 21.445312°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.458491°
E 21.442566°		 ← 299.28 m →
89 576 m²		 N 11.458491°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559566497802734 y=0.467952728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559566497802734 × 217)
    floor (0.559566497802734 × 131072)
    floor (73343.5)     		tx = 73343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467952728271484 × 217)
    floor (0.467952728271484 × 131072)
    floor (61335.5)     		ty = 61335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73343 / 61335 ti = "17/73343/61335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73343/61335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73343 ÷ 217
    73343 ÷ 131072     		x = 0.559562683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61335 ÷ 217
    61335 ÷ 131072     		y = 0.467948913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559562683105469 × 2 - 1) × π
    0.119125366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37424338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467948913574219 × 2 - 1) × π
    0.0641021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.201382915303856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37424338} λ = 0.37424338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201382915303856))-π/2
    2×atan(1.22309302320392)-π/2
    2×0.885415849486195-π/2
    1.77083169897239-1.57079632675     		φ = 0.20003537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37424338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.442566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20003537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.461182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73343 KachelY 61335 0.37424338 0.20003537 21.442566 11.461182
    Oben rechts KachelX + 1 73344 KachelY 61335 0.37429131 0.20003537 21.445312 11.461182
    Unten links KachelX 73343 KachelY + 1 61336 0.37424338 0.19998839 21.442566 11.458491
    Unten rechts KachelX + 1 73344 KachelY + 1 61336 0.37429131 0.19998839 21.445312 11.458491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20003537-0.19998839) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20003537-0.19998839) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37424338-0.37429131) × cos(0.20003537) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980059550293963 × 6371000     		do = 299.272973798488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37424338-0.37429131) × cos(0.19998839) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980068884326119 × 6371000     		du = 299.275824057496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20003537)-sin(0.19998839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980059550293963-0.980068884326119)×R²
    abs(0.37429131-0.37424338)×9.33403215630513e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.33403215630513e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.33403215630513e-06×40589641000000     		ar = 89575.6946643803m²