Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73343 / 55427
↖ ↑ ↗
← N 26.738252°
E 21.442566°		 ← 272.71 m → N 26.738252°
E 21.445312°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
N 26.735799°
E 21.442566°		 ← 272.72 m →
74 380 m²		 N 26.735799°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559566497802734 y=0.422878265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559566497802734 × 217)
    floor (0.559566497802734 × 131072)
    floor (73343.5)     		tx = 73343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422878265380859 × 217)
    floor (0.422878265380859 × 131072)
    floor (55427.5)     		ty = 55427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73343 / 55427 ti = "17/73343/55427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73343/55427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73343 ÷ 217
    73343 ÷ 131072     		x = 0.559562683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55427 ÷ 217
    55427 ÷ 131072     		y = 0.422874450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559562683105469 × 2 - 1) × π
    0.119125366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37424338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422874450683594 × 2 - 1) × π
    0.154251098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.484594118259148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37424338} λ = 0.37424338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484594118259148))-π/2
    2×atan(1.62351591962938)-π/2
    2×1.01873342968366-π/2
    2.03746685936732-1.57079632675     		φ = 0.46667053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37424338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.442566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46667053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.738252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73343 KachelY 55427 0.37424338 0.46667053 21.442566 26.738252
    Oben rechts KachelX + 1 73344 KachelY 55427 0.37429131 0.46667053 21.445312 26.738252
    Unten links KachelX 73343 KachelY + 1 55428 0.37424338 0.46662772 21.442566 26.735799
    Unten rechts KachelX + 1 73344 KachelY + 1 55428 0.37429131 0.46662772 21.445312 26.735799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46667053-0.46662772) × R
    4.28099999999487e-05 × 6371000     		dl = 272.742509999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46667053-0.46662772) × R
    4.28099999999487e-05 × 6371000     		dr = 272.742509999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37424338-0.37429131) × cos(0.46667053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893071215032199 × 6371000     		do = 272.71003915665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37424338-0.37429131) × cos(0.46662772) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893090475089141 × 6371000     		du = 272.715920446735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46667053)-sin(0.46662772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893071215032199-0.893090475089141)×R²
    abs(0.37429131-0.37424338)×1.92600569411949e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92600569411949e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92600569411949e-05×40589641000000     		ar = 74380.4226320047m²