Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73342 / 61313
↖ ↑ ↗
← N 11.520396°
E 21.439819°		 ← 299.27 m → N 11.520396°
E 21.442566°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.517705°
E 21.439819°		 ← 299.28 m →
89 576 m²		 N 11.517705°
E 21.442566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559558868408203 y=0.467784881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559558868408203 × 217)
    floor (0.559558868408203 × 131072)
    floor (73342.5)     		tx = 73342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467784881591797 × 217)
    floor (0.467784881591797 × 131072)
    floor (61313.5)     		ty = 61313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73342 / 61313 ti = "17/73342/61313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73342/61313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73342 ÷ 217
    73342 ÷ 131072     		x = 0.559555053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61313 ÷ 217
    61313 ÷ 131072     		y = 0.467781066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559555053710938 × 2 - 1) × π
    0.119110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37419544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467781066894531 × 2 - 1) × π
    0.0644378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202437527095497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37419544} λ = 0.37419544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202437527095497))-π/2
    2×atan(1.22438359193335)-π/2
    2×0.885932586428647-π/2
    1.77186517285729-1.57079632675     		φ = 0.20106885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37419544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.439819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20106885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.520396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73342 KachelY 61313 0.37419544 0.20106885 21.439819 11.520396
    Oben rechts KachelX + 1 73343 KachelY 61313 0.37424338 0.20106885 21.442566 11.520396
    Unten links KachelX 73342 KachelY + 1 61314 0.37419544 0.20102187 21.439819 11.517705
    Unten rechts KachelX + 1 73343 KachelY + 1 61314 0.37424338 0.20102187 21.442566 11.517705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20106885-0.20102187) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20106885-0.20102187) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37419544-0.37424338) × cos(0.20106885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979853670333718 × 6371000     		do = 299.272532353542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37419544-0.37424338) × cos(0.20102187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979863051945832 × 6371000     		du = 299.275397739365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20106885)-sin(0.20102187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979853670333718-0.979863051945832)×R²
    abs(0.37424338-0.37419544)×9.38161211372357e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.38161211372357e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.38161211372357e-06×40589641000000     		ar = 89575.5647994372m²