Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73335 / 61320
↖ ↑ ↗
← N 11.501557°
E 21.420593°		 ← 299.29 m → N 11.501557°
E 21.423340°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.498865°
E 21.420593°		 ← 299.30 m →
89 582 m²		 N 11.498865°
E 21.423340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559505462646484 y=0.467838287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559505462646484 × 217)
    floor (0.559505462646484 × 131072)
    floor (73335.5)     		tx = 73335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467838287353516 × 217)
    floor (0.467838287353516 × 131072)
    floor (61320.5)     		ty = 61320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73335 / 61320 ti = "17/73335/61320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73335/61320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73335 ÷ 217
    73335 ÷ 131072     		x = 0.559501647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61320 ÷ 217
    61320 ÷ 131072     		y = 0.46783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559501647949219 × 2 - 1) × π
    0.119003295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37385988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46783447265625 × 2 - 1) × π
    0.0643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.202101968798157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37385988} λ = 0.37385988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202101968798157))-π/2
    2×atan(1.22397280878465)-π/2
    2×0.885768181907992-π/2
    1.77153636381598-1.57079632675     		φ = 0.20074004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37385988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.420593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20074004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.501557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73335 KachelY 61320 0.37385988 0.20074004 21.420593 11.501557
    Oben rechts KachelX + 1 73336 KachelY 61320 0.37390782 0.20074004 21.423340 11.501557
    Unten links KachelX 73335 KachelY + 1 61321 0.37385988 0.20069306 21.420593 11.498865
    Unten rechts KachelX + 1 73336 KachelY + 1 61321 0.37390782 0.20069306 21.423340 11.498865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20074004-0.20069306) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20074004-0.20069306) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37385988-0.37390782) × cos(0.20074004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979919286231872 × 6371000     		do = 299.292573137792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37385988-0.37390782) × cos(0.20069306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979928652707123 × 6371000     		du = 299.295433900426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20074004)-sin(0.20069306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979919286231872-0.979928652707123)×R²
    abs(0.37390782-0.37385988)×9.36647525084933e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.36647525084933e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.36647525084933e-06×40589641000000     		ar = 89581.5625062527m²