Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73334 / 61322
↖ ↑ ↗
← N 11.496174°
E 21.417846°		 ← 299.30 m → N 11.496174°
E 21.420593°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.493482°
E 21.417846°		 ← 299.30 m →
89 583 m²		 N 11.493482°
E 21.420593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559497833251953 y=0.467853546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559497833251953 × 217)
    floor (0.559497833251953 × 131072)
    floor (73334.5)     		tx = 73334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467853546142578 × 217)
    floor (0.467853546142578 × 131072)
    floor (61322.5)     		ty = 61322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73334 / 61322 ti = "17/73334/61322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73334/61322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73334 ÷ 217
    73334 ÷ 131072     		x = 0.559494018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61322 ÷ 217
    61322 ÷ 131072     		y = 0.467849731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559494018554688 × 2 - 1) × π
    0.118988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37381194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467849731445312 × 2 - 1) × π
    0.064300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202006094998917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37381194} λ = 0.37381194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202006094998917))-π/2
    2×atan(1.22385546748637)-π/2
    2×0.885721207166573-π/2
    1.77144241433315-1.57079632675     		φ = 0.20064609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37381194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.417846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20064609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.496174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73334 KachelY 61322 0.37381194 0.20064609 21.417846 11.496174
    Oben rechts KachelX + 1 73335 KachelY 61322 0.37385988 0.20064609 21.420593 11.496174
    Unten links KachelX 73334 KachelY + 1 61323 0.37381194 0.20059911 21.417846 11.493482
    Unten rechts KachelX + 1 73335 KachelY + 1 61323 0.37385988 0.20059911 21.420593 11.493482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20064609-0.20059911) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20064609-0.20059911) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37381194-0.37385988) × cos(0.20064609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979938015026528 × 6371000     		do = 299.298293393412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37381194-0.37385988) × cos(0.20059911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979947377176578 × 6371000     		du = 299.301152835019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20064609)-sin(0.20059911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979938015026528-0.979947377176578)×R²
    abs(0.37385988-0.37381194)×9.36215004954111e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.36215004954111e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.36215004954111e-06×40589641000000     		ar = 89583.2744359578m²