Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7333 / 3752
↖ ↑ ↗
← N 69.349338°
W 18.874511°		 ← 861.65 m → N 69.349338°
W 18.852539°		 →
↑
861.81 m
↓
↑
861.81 m
↓
N 69.341588°
W 18.874511°		 ← 861.96 m →
742 705 m²		 N 69.341588°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447601318359375 y=0.229034423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447601318359375 × 214)
    floor (0.447601318359375 × 16384)
    floor (7333.5)     		tx = 7333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229034423828125 × 214)
    floor (0.229034423828125 × 16384)
    floor (3752.5)     		ty = 3752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7333 / 3752 ti = "14/7333/3752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7333/3752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7333 ÷ 214
    7333 ÷ 16384     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3752 ÷ 214
    3752 ÷ 16384     		y = 0.22900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22900390625 × 2 - 1) × π
    0.5419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70271867450439))-π/2
    2×atan(5.48884952077994)-π/2
    2×1.39058531006118-π/2
    2.78117062012236-1.57079632675     		φ = 1.21037429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21037429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.349338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7333 KachelY 3752 -0.32942237 1.21037429 -18.874511 69.349338
    Oben rechts KachelX + 1 7334 KachelY 3752 -0.32903888 1.21037429 -18.852539 69.349338
    Unten links KachelX 7333 KachelY + 1 3753 -0.32942237 1.21023902 -18.874511 69.341588
    Unten rechts KachelX + 1 7334 KachelY + 1 3753 -0.32903888 1.21023902 -18.852539 69.341588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21037429-1.21023902) × R
    0.000135270000000132 × 6371000     		dl = 861.805170000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21037429-1.21023902) × R
    0.000135270000000132 × 6371000     		dr = 861.805170000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32903888) × cos(1.21037429) × R
    0.000383490000000042 × 0.352669184786511 × 6371000     		do = 861.646568247742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32903888) × cos(1.21023902) × R
    0.000383490000000042 × 0.35279576020067 × 6371000     		du = 861.955819171665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21037429)-sin(1.21023902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352669184786511-0.35279576020067)×R²
    abs(-0.32903888--0.32942237)×0.000126575414158892×R²
    0.000383490000000042×0.000126575414158892×6371000²
    0.000383490000000042×0.000126575414158892×40589641000000     		ar = 742704.725383674m²