Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7333 / 3738
↖ ↑ ↗
← N 69.457554°
W 18.874511°		 ← 857.33 m → N 69.457554°
W 18.852539°		 →
↑
857.47 m
↓
↑
857.47 m
↓
N 69.449842°
W 18.874511°		 ← 857.63 m →
735 267 m²		 N 69.449842°
W 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447601318359375 y=0.228179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447601318359375 × 214)
    floor (0.447601318359375 × 16384)
    floor (7333.5)     		tx = 7333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228179931640625 × 214)
    floor (0.228179931640625 × 16384)
    floor (3738.5)     		ty = 3738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7333 / 3738 ti = "14/7333/3738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7333/3738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7333 ÷ 214
    7333 ÷ 16384     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3738 ÷ 214
    3738 ÷ 16384     		y = 0.2281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2281494140625 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70808760726184))-π/2
    2×atan(5.51839803578879)-π/2
    2×1.39152966387043-π/2
    2.78305932774087-1.57079632675     		φ = 1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7333 KachelY 3738 -0.32942237 1.21226300 -18.874511 69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 7334 KachelY 3738 -0.32903888 1.21226300 -18.852539 69.457554
    Unten links KachelX 7333 KachelY + 1 3739 -0.32942237 1.21212841 -18.874511 69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 7334 KachelY + 1 3739 -0.32903888 1.21212841 -18.852539 69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21226300-1.21212841) × R
    0.000134590000000046 × 6371000     		dl = 857.47289000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21226300-1.21212841) × R
    0.000134590000000046 × 6371000     		dr = 857.47289000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32903888) × cos(1.21226300) × R
    0.000383490000000042 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 857.327001862754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32903888) × cos(1.21212841) × R
    0.000383490000000042 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 857.634916748956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21226300)-sin(1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.35102722865756)×R²
    abs(-0.32903888--0.32942237)×0.000126028578192383×R²
    0.000383490000000042×0.000126028578192383×6371000²
    0.000383490000000042×0.000126028578192383×40589641000000     		ar = 735266.677406449m²