Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73328 / 76399
↖ ↑ ↗
← S 28.572462°
E 21.401367°		 ← 268.23 m → S 28.572462°
E 21.404114°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.574874°
E 21.401367°		 ← 268.22 m →
71 943 m²		 S 28.574874°
E 21.404114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559452056884766 y=0.582881927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559452056884766 × 217)
    floor (0.559452056884766 × 131072)
    floor (73328.5)     		tx = 73328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582881927490234 × 217)
    floor (0.582881927490234 × 131072)
    floor (76399.5)     		ty = 76399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73328 / 76399 ti = "17/73328/76399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73328/76399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73328 ÷ 217
    73328 ÷ 131072     		x = 0.5594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76399 ÷ 217
    76399 ÷ 131072     		y = 0.582878112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5594482421875 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582878112792969 × 2 - 1) × π
    -0.165756225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.52073854057267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37352432} λ = 0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52073854057267))-π/2
    2×atan(0.594081632522616)-π/2
    2×0.536056394830315-π/2
    1.07211278966063-1.57079632675     		φ = -0.49868354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49868354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.572462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73328 KachelY 76399 0.37352432 -0.49868354 21.401367 -28.572462
    Oben rechts KachelX + 1 73329 KachelY 76399 0.37357226 -0.49868354 21.404114 -28.572462
    Unten links KachelX 73328 KachelY + 1 76400 0.37352432 -0.49872564 21.401367 -28.574874
    Unten rechts KachelX + 1 73329 KachelY + 1 76400 0.37357226 -0.49872564 21.404114 -28.574874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49868354--0.49872564) × R
    4.21000000000449e-05 × 6371000     		dl = 268.219100000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49868354--0.49872564) × R
    4.21000000000449e-05 × 6371000     		dr = 268.219100000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37352432-0.37357226) × cos(-0.49868354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878212945798072 × 6371000     		do = 268.22883884778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37352432-0.37357226) × cos(-0.49872564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87819280986033 × 6371000     		du = 268.222688814095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49868354)-sin(-0.49872564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878212945798072-0.87819280986033)×R²
    abs(0.37357226-0.37352432)×2.01359377416388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01359377416388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01359377416388e-05×40589641000000     		ar = 71943.2729822745m²