Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73326 / 76345
↖ ↑ ↗
← S 28.442129°
E 21.395874°		 ← 268.50 m → S 28.442129°
E 21.398620°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
S 28.444544°
E 21.395874°		 ← 268.50 m →
72 103 m²		 S 28.444544°
E 21.398620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559436798095703 y=0.582469940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559436798095703 × 217)
    floor (0.559436798095703 × 131072)
    floor (73326.5)     		tx = 73326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582469940185547 × 217)
    floor (0.582469940185547 × 131072)
    floor (76345.5)     		ty = 76345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73326 / 76345 ti = "17/73326/76345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73326/76345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73326 ÷ 217
    73326 ÷ 131072     		x = 0.559432983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76345 ÷ 217
    76345 ÷ 131072     		y = 0.582466125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559432983398438 × 2 - 1) × π
    0.118865966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37342845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582466125488281 × 2 - 1) × π
    -0.164932250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.518149947993187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37342845} λ = 0.37342845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518149947993187))-π/2
    2×atan(0.59562145996127)-π/2
    2×0.537193765522644-π/2
    1.07438753104529-1.57079632675     		φ = -0.49640880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37342845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.395874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49640880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.442129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73326 KachelY 76345 0.37342845 -0.49640880 21.395874 -28.442129
    Oben rechts KachelX + 1 73327 KachelY 76345 0.37347638 -0.49640880 21.398620 -28.442129
    Unten links KachelX 73326 KachelY + 1 76346 0.37342845 -0.49645095 21.395874 -28.444544
    Unten rechts KachelX + 1 73327 KachelY + 1 76346 0.37347638 -0.49645095 21.398620 -28.444544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49640880--0.49645095) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49640880--0.49645095) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37342845-0.37347638) × cos(-0.49640880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879298612222786 × 6371000     		do = 268.504409204386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37342845-0.37347638) × cos(-0.49645095) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879278536624135 × 6371000     		du = 268.498278878829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49640880)-sin(-0.49645095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879298612222786-0.879278536624135)×R²
    abs(0.37347638-0.37342845)×2.00755986505818e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00755986505818e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00755986505818e-05×40589641000000     		ar = 72102.719961508m²