Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73325 / 76335
↖ ↑ ↗
← S 28.417976°
E 21.393127°		 ← 268.62 m → S 28.417976°
E 21.395874°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.420391°
E 21.393127°		 ← 268.62 m →
72 151 m²		 S 28.420391°
E 21.395874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559429168701172 y=0.582393646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559429168701172 × 217)
    floor (0.559429168701172 × 131072)
    floor (73325.5)     		tx = 73325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582393646240234 × 217)
    floor (0.582393646240234 × 131072)
    floor (76335.5)     		ty = 76335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73325 / 76335 ti = "17/73325/76335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73325/76335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73325 ÷ 217
    73325 ÷ 131072     		x = 0.559425354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76335 ÷ 217
    76335 ÷ 131072     		y = 0.582389831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559425354003906 × 2 - 1) × π
    0.118850708007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.37338051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582389831542969 × 2 - 1) × π
    -0.164779663085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.517670578996986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37338051} λ = 0.37338051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517670578996986))-π/2
    2×atan(0.595907050868892)-π/2
    2×0.537404543823866-π/2
    1.07480908764773-1.57079632675     		φ = -0.49598724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37338051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.393127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49598724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.417976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73325 KachelY 76335 0.37338051 -0.49598724 21.393127 -28.417976
    Oben rechts KachelX + 1 73326 KachelY 76335 0.37342845 -0.49598724 21.395874 -28.417976
    Unten links KachelX 73325 KachelY + 1 76336 0.37338051 -0.49602940 21.393127 -28.420391
    Unten rechts KachelX + 1 73326 KachelY + 1 76336 0.37342845 -0.49602940 21.395874 -28.420391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49598724--0.49602940) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49598724--0.49602940) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37338051-0.37342845) × cos(-0.49598724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879499310837427 × 6371000     		do = 268.621727842146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37338051-0.37342845) × cos(-0.49602940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879479246105049 × 6371000     		du = 268.615599556412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49598724)-sin(-0.49602940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879499310837427-0.879479246105049)×R²
    abs(0.37342845-0.37338051)×2.00647323772563e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00647323772563e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00647323772563e-05×40589641000000     		ar = 72151.3384017185m²