Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73324 / 76340
↖ ↑ ↗
← S 28.430053°
E 21.390381°		 ← 268.59 m → S 28.430053°
E 21.393127°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
S 28.432468°
E 21.390381°		 ← 268.58 m →
72 126 m²		 S 28.432468°
E 21.393127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559421539306641 y=0.582431793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559421539306641 × 217)
    floor (0.559421539306641 × 131072)
    floor (73324.5)     		tx = 73324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582431793212891 × 217)
    floor (0.582431793212891 × 131072)
    floor (76340.5)     		ty = 76340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73324 / 76340 ti = "17/73324/76340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73324/76340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73324 ÷ 217
    73324 ÷ 131072     		x = 0.559417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76340 ÷ 217
    76340 ÷ 131072     		y = 0.582427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559417724609375 × 2 - 1) × π
    0.11883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37333257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.16485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.517910263495087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37333257} λ = 0.37333257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517910263495087))-π/2
    2×atan(0.595764238302153)-π/2
    2×0.53729914866026-π/2
    1.07459829732052-1.57079632675     		φ = -0.49619803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37333257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.390381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49619803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.430053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73324 KachelY 76340 0.37333257 -0.49619803 21.390381 -28.430053
    Oben rechts KachelX + 1 73325 KachelY 76340 0.37338051 -0.49619803 21.393127 -28.430053
    Unten links KachelX 73324 KachelY + 1 76341 0.37333257 -0.49624018 21.390381 -28.432468
    Unten rechts KachelX + 1 73325 KachelY + 1 76341 0.37338051 -0.49624018 21.393127 -28.432468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49619803--0.49624018) × R
    4.21499999999631e-05 × 6371000     		dl = 268.537649999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49619803--0.49624018) × R
    4.21499999999631e-05 × 6371000     		dr = 268.537649999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37333257-0.37338051) × cos(-0.49619803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879398976304311 × 6371000     		do = 268.591083093122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37333257-0.37338051) × cos(-0.49624018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879378908517667 × 6371000     		du = 268.584953874536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49619803)-sin(-0.49624018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879398976304311-0.879378908517667)×R²
    abs(0.37338051-0.37333257)×2.00677866442067e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00677866442067e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00677866442067e-05×40589641000000     		ar = 72125.9953124113m²