Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73323 / 76413
↖ ↑ ↗
← S 28.606226°
E 21.387634°		 ← 268.09 m → S 28.606226°
E 21.390381°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.608637°
E 21.387634°		 ← 268.08 m →
71 871 m²		 S 28.608637°
E 21.390381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559413909912109 y=0.582988739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559413909912109 × 217)
    floor (0.559413909912109 × 131072)
    floor (73323.5)     		tx = 73323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582988739013672 × 217)
    floor (0.582988739013672 × 131072)
    floor (76413.5)     		ty = 76413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73323 / 76413 ti = "17/73323/76413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73323/76413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73323 ÷ 217
    73323 ÷ 131072     		x = 0.559410095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76413 ÷ 217
    76413 ÷ 131072     		y = 0.582984924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559410095214844 × 2 - 1) × π
    0.118820190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.37328464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582984924316406 × 2 - 1) × π
    -0.165969848632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.521409657167351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37328464} λ = 0.37328464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521409657167351))-π/2
    2×atan(0.593683068236947)-π/2
    2×0.535761750495353-π/2
    1.07152350099071-1.57079632675     		φ = -0.49927283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37328464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.387634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49927283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.606226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73323 KachelY 76413 0.37328464 -0.49927283 21.387634 -28.606226
    Oben rechts KachelX + 1 73324 KachelY 76413 0.37333257 -0.49927283 21.390381 -28.606226
    Unten links KachelX 73323 KachelY + 1 76414 0.37328464 -0.49931491 21.387634 -28.608637
    Unten rechts KachelX + 1 73324 KachelY + 1 76414 0.37333257 -0.49931491 21.390381 -28.608637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49927283--0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49927283--0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37328464-0.37333257) × cos(-0.49927283) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877930953706176 × 6371000     		do = 268.086778223407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37328464-0.37333257) × cos(-0.49931491) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877910805560985 × 6371000     		du = 268.080625744891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49927283)-sin(-0.49931491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877930953706176-0.877910805560985)×R²
    abs(0.37333257-0.37328464)×2.01481451908014e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01481451908014e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01481451908014e-05×40589641000000     		ar = 71871.0100561938m²