Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73320 / 76326
↖ ↑ ↗
← S 28.396233°
E 21.379395°		 ← 268.62 m → S 28.396233°
E 21.382141°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.398649°
E 21.379395°		 ← 268.61 m →
72 151 m²		 S 28.398649°
E 21.382141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559391021728516 y=0.582324981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559391021728516 × 217)
    floor (0.559391021728516 × 131072)
    floor (73320.5)     		tx = 73320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582324981689453 × 217)
    floor (0.582324981689453 × 131072)
    floor (76326.5)     		ty = 76326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73320 / 76326 ti = "17/73320/76326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73320/76326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73320 ÷ 217
    73320 ÷ 131072     		x = 0.55938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76326 ÷ 217
    76326 ÷ 131072     		y = 0.582321166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55938720703125 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37314083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582321166992188 × 2 - 1) × π
    -0.164642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.517239146900406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37314083} λ = 0.37314083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517239146900406))-π/2
    2×atan(0.59616419976437)-π/2
    2×0.53759428541328-π/2
    1.07518857082656-1.57079632675     		φ = -0.49560776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37314083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.379395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49560776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.396233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73320 KachelY 76326 0.37314083 -0.49560776 21.379395 -28.396233
    Oben rechts KachelX + 1 73321 KachelY 76326 0.37318876 -0.49560776 21.382141 -28.396233
    Unten links KachelX 73320 KachelY + 1 76327 0.37314083 -0.49564992 21.379395 -28.398649
    Unten rechts KachelX + 1 73321 KachelY + 1 76327 0.37318876 -0.49564992 21.382141 -28.398649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49560776--0.49564992) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49560776--0.49564992) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37314083-0.37318876) × cos(-0.49560776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879679842099609 × 6371000     		do = 268.620822333781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37314083-0.37318876) × cos(-0.49564992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879659791439517 × 6371000     		du = 268.614699623512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49560776)-sin(-0.49564992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879679842099609-0.879659791439517)×R²
    abs(0.37318876-0.37314083)×2.00506600922523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00506600922523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00506600922523e-05×40589641000000     		ar = 72151.0959297255m²