Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73319 / 76337
↖ ↑ ↗
← S 28.422807°
E 21.376648°		 ← 268.61 m → S 28.422807°
E 21.379395°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.425222°
E 21.376648°		 ← 268.60 m →
72 148 m²		 S 28.425222°
E 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559383392333984 y=0.582408905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559383392333984 × 217)
    floor (0.559383392333984 × 131072)
    floor (73319.5)     		tx = 73319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582408905029297 × 217)
    floor (0.582408905029297 × 131072)
    floor (76337.5)     		ty = 76337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73319 / 76337 ti = "17/73319/76337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73319/76337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73319 ÷ 217
    73319 ÷ 131072     		x = 0.559379577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76337 ÷ 217
    76337 ÷ 131072     		y = 0.582405090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559379577636719 × 2 - 1) × π
    0.118759155273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37309289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582405090332031 × 2 - 1) × π
    -0.164810180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.517766452796226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37309289} λ = 0.37309289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517766452796226))-π/2
    2×atan(0.595849921734569)-π/2
    2×0.537362384315516-π/2
    1.07472476863103-1.57079632675     		φ = -0.49607156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37309289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.376648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49607156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.422807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73319 KachelY 76337 0.37309289 -0.49607156 21.376648 -28.422807
    Oben rechts KachelX + 1 73320 KachelY 76337 0.37314083 -0.49607156 21.379395 -28.422807
    Unten links KachelX 73319 KachelY + 1 76338 0.37309289 -0.49611372 21.376648 -28.425222
    Unten rechts KachelX + 1 73320 KachelY + 1 76338 0.37314083 -0.49611372 21.379395 -28.425222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49607156--0.49611372) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dl = 268.601359999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49607156--0.49611372) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dr = 268.601359999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37309289-0.37314083) × cos(-0.49607156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879459179809428 × 6371000     		do = 268.609470792911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37309289-0.37314083) × cos(-0.49611372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879439111950598 × 6371000     		du = 268.603341552278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49607156)-sin(-0.49611372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879459179809428-0.879439111950598)×R²
    abs(0.37314083-0.37309289)×2.00678588296865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00678588296865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00678588296865e-05×40589641000000     		ar = 72148.046013269m²