Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73317 / 76329
↖ ↑ ↗
← S 28.403481°
E 21.371155°		 ← 268.60 m → S 28.403481°
E 21.373901°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.405896°
E 21.371155°		 ← 268.60 m →
72 146 m²		 S 28.405896°
E 21.373901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559368133544922 y=0.582347869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559368133544922 × 217)
    floor (0.559368133544922 × 131072)
    floor (73317.5)     		tx = 73317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582347869873047 × 217)
    floor (0.582347869873047 × 131072)
    floor (76329.5)     		ty = 76329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73317 / 76329 ti = "17/73317/76329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73317/76329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73317 ÷ 217
    73317 ÷ 131072     		x = 0.559364318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76329 ÷ 217
    76329 ÷ 131072     		y = 0.582344055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559364318847656 × 2 - 1) × π
    0.118728637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37299702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582344055175781 × 2 - 1) × π
    -0.164688110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.517382957599266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37299702} λ = 0.37299702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517382957599266))-π/2
    2×atan(0.596078471138661)-π/2
    2×0.537531033889837-π/2
    1.07506206777967-1.57079632675     		φ = -0.49573426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37299702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.371155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49573426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.403481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73317 KachelY 76329 0.37299702 -0.49573426 21.371155 -28.403481
    Oben rechts KachelX + 1 73318 KachelY 76329 0.37304495 -0.49573426 21.373901 -28.403481
    Unten links KachelX 73317 KachelY + 1 76330 0.37299702 -0.49577642 21.371155 -28.405896
    Unten rechts KachelX + 1 73318 KachelY + 1 76330 0.37304495 -0.49577642 21.373901 -28.405896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49573426--0.49577642) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49573426--0.49577642) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37299702-0.37304495) × cos(-0.49573426) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87961967591512 × 6371000     		do = 268.602449865237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37299702-0.37304495) × cos(-0.49577642) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879599620563698 × 6371000     		du = 268.596325722414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49573426)-sin(-0.49577642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87961967591512-0.879599620563698)×R²
    abs(0.37304495-0.37299702)×2.00553514220214e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00553514220214e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00553514220214e-05×40589641000000     		ar = 72146.1608672883m²