Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73316 / 76328
↖ ↑ ↗
← S 28.401065°
E 21.368408°		 ← 268.66 m → S 28.401065°
E 21.371155°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.403481°
E 21.368408°		 ← 268.66 m →
72 180 m²		 S 28.403481°
E 21.371155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559360504150391 y=0.582340240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559360504150391 × 217)
    floor (0.559360504150391 × 131072)
    floor (73316.5)     		tx = 73316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582340240478516 × 217)
    floor (0.582340240478516 × 131072)
    floor (76328.5)     		ty = 76328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73316 / 76328 ti = "17/73316/76328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73316/76328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73316 ÷ 217
    73316 ÷ 131072     		x = 0.559356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76328 ÷ 217
    76328 ÷ 131072     		y = 0.58233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559356689453125 × 2 - 1) × π
    0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517335020699646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37294908} λ = 0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517335020699646))-π/2
    2×atan(0.596107045977387)-π/2
    2×0.537552117250272-π/2
    1.07510423450054-1.57079632675     		φ = -0.49569209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49569209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.401065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73316 KachelY 76328 0.37294908 -0.49569209 21.368408 -28.401065
    Oben rechts KachelX + 1 73317 KachelY 76328 0.37299702 -0.49569209 21.371155 -28.401065
    Unten links KachelX 73316 KachelY + 1 76329 0.37294908 -0.49573426 21.368408 -28.403481
    Unten rechts KachelX + 1 73317 KachelY + 1 76329 0.37299702 -0.49573426 21.371155 -28.403481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49569209--0.49573426) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49569209--0.49573426) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37294908-0.37299702) × cos(-0.49569209) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879639734459454 × 6371000     		do = 268.664616830817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37294908-0.37299702) × cos(-0.49573426) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87961967591512 × 6371000     		du = 268.658490435071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49569209)-sin(-0.49573426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879639734459454-0.87961967591512)×R²
    abs(0.37299702-0.37294908)×2.00585443339563e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00585443339563e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00585443339563e-05×40589641000000     		ar = 72179.9751237514m²