Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73315 / 76327
↖ ↑ ↗
← S 28.398649°
E 21.365661°		 ← 268.67 m → S 28.398649°
E 21.368408°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.401065°
E 21.365661°		 ← 268.66 m →
72 182 m²		 S 28.401065°
E 21.368408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559352874755859 y=0.582332611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559352874755859 × 217)
    floor (0.559352874755859 × 131072)
    floor (73315.5)     		tx = 73315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582332611083984 × 217)
    floor (0.582332611083984 × 131072)
    floor (76327.5)     		ty = 76327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73315 / 76327 ti = "17/73315/76327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73315/76327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73315 ÷ 217
    73315 ÷ 131072     		x = 0.559349060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76327 ÷ 217
    76327 ÷ 131072     		y = 0.582328796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559349060058594 × 2 - 1) × π
    0.118698120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.37290114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582328796386719 × 2 - 1) × π
    -0.164657592773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.517287083800026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37290114} λ = 0.37290114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517287083800026))-π/2
    2×atan(0.596135622185935)-π/2
    2×0.537573201091429-π/2
    1.07514640218286-1.57079632675     		φ = -0.49564992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37290114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.365661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49564992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.398649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73315 KachelY 76327 0.37290114 -0.49564992 21.365661 -28.398649
    Oben rechts KachelX + 1 73316 KachelY 76327 0.37294908 -0.49564992 21.368408 -28.398649
    Unten links KachelX 73315 KachelY + 1 76328 0.37290114 -0.49569209 21.365661 -28.401065
    Unten rechts KachelX + 1 73316 KachelY + 1 76328 0.37294908 -0.49569209 21.368408 -28.401065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49564992--0.49569209) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dl = 268.665069999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49564992--0.49569209) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dr = 268.665069999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37290114-0.37294908) × cos(-0.49564992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879659791439517 × 6371000     		do = 268.670742748484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37290114-0.37294908) × cos(-0.49569209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879639734459454 × 6371000     		du = 268.664616830506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49564992)-sin(-0.49569209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879659791439517-0.879639734459454)×R²
    abs(0.37294908-0.37290114)×2.00569800627992e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00569800627992e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00569800627992e-05×40589641000000     		ar = 72181.6210080571m²