Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73312 / 76384
↖ ↑ ↗
← S 28.536275°
E 21.357422°		 ← 268.32 m → S 28.536275°
E 21.360169°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.538687°
E 21.357422°		 ← 268.31 m →
71 985 m²		 S 28.538687°
E 21.360169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559329986572266 y=0.582767486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559329986572266 × 217)
    floor (0.559329986572266 × 131072)
    floor (73312.5)     		tx = 73312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582767486572266 × 217)
    floor (0.582767486572266 × 131072)
    floor (76384.5)     		ty = 76384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73312 / 76384 ti = "17/73312/76384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73312/76384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73312 ÷ 217
    73312 ÷ 131072     		x = 0.559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76384 ÷ 217
    76384 ÷ 131072     		y = 0.582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559326171875 × 2 - 1) × π
    0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37275733} λ = 0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520019487078369))-π/2
    2×atan(0.594508962614567)-π/2
    2×0.536372190151669-π/2
    1.07274438030334-1.57079632675     		φ = -0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73312 KachelY 76384 0.37275733 -0.49805195 21.357422 -28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 73313 KachelY 76384 0.37280527 -0.49805195 21.360169 -28.536275
    Unten links KachelX 73312 KachelY + 1 76385 0.37275733 -0.49809406 21.357422 -28.538687
    Unten rechts KachelX + 1 73313 KachelY + 1 76385 0.37280527 -0.49809406 21.360169 -28.538687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49805195--0.49809406) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49805195--0.49809406) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37275733-0.37280527) × cos(-0.49805195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 268.321045429475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37275733-0.37280527) × cos(-0.49809406) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87849472369228 × 6371000     		du = 268.314901069945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49805195)-sin(-0.49809406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.87849472369228)×R²
    abs(0.37280527-0.37275733)×2.01173598863846e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01173598863846e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01173598863846e-05×40589641000000     		ar = 71985.0998475797m²