Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73311 / 76382
↖ ↑ ↗
← S 28.531449°
E 21.354675°		 ← 268.33 m → S 28.531449°
E 21.357422°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.533861°
E 21.354675°		 ← 268.33 m →
71 988 m²		 S 28.533861°
E 21.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559322357177734 y=0.582752227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559322357177734 × 217)
    floor (0.559322357177734 × 131072)
    floor (73311.5)     		tx = 73311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582752227783203 × 217)
    floor (0.582752227783203 × 131072)
    floor (76382.5)     		ty = 76382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73311 / 76382 ti = "17/73311/76382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73311/76382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73311 ÷ 217
    73311 ÷ 131072     		x = 0.559318542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76382 ÷ 217
    76382 ÷ 131072     		y = 0.582748413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559318542480469 × 2 - 1) × π
    0.118637084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.37270939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582748413085938 × 2 - 1) × π
    -0.165496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.519923613279129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37270939} λ = 0.37270939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519923613279129))-π/2
    2×atan(0.594565963179882)-π/2
    2×0.536414304393866-π/2
    1.07282860878773-1.57079632675     		φ = -0.49796772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37270939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49796772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.531449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73311 KachelY 76382 0.37270939 -0.49796772 21.354675 -28.531449
    Oben rechts KachelX + 1 73312 KachelY 76382 0.37275733 -0.49796772 21.357422 -28.531449
    Unten links KachelX 73311 KachelY + 1 76383 0.37270939 -0.49800983 21.354675 -28.533861
    Unten rechts KachelX + 1 73312 KachelY + 1 76383 0.37275733 -0.49800983 21.357422 -28.533861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49796772--0.49800983) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49796772--0.49800983) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37270939-0.37275733) × cos(-0.49796772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878555075874829 × 6371000     		do = 268.333334179961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37270939-0.37275733) × cos(-0.49800983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878534961631005 × 6371000     		du = 268.327190772156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49796772)-sin(-0.49800983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878555075874829-0.878534961631005)×R²
    abs(0.37275733-0.37270939)×2.01142438243096e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01142438243096e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01142438243096e-05×40589641000000     		ar = 71988.3968357561m²