Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73304 / 76391
↖ ↑ ↗
← S 28.553164°
E 21.335449°		 ← 268.22 m → S 28.553164°
E 21.338196°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.555576°
E 21.335449°		 ← 268.22 m →
71 941 m²		 S 28.555576°
E 21.338196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559268951416016 y=0.582820892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559268951416016 × 217)
    floor (0.559268951416016 × 131072)
    floor (73304.5)     		tx = 73304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582820892333984 × 217)
    floor (0.582820892333984 × 131072)
    floor (76391.5)     		ty = 76391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73304 / 76391 ti = "17/73304/76391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73304/76391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73304 ÷ 217
    73304 ÷ 131072     		x = 0.55926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76391 ÷ 217
    76391 ÷ 131072     		y = 0.582817077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55926513671875 × 2 - 1) × π
    0.1185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37237384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582817077636719 × 2 - 1) × π
    -0.165634155273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.52035504537571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37237384} λ = 0.37237384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52035504537571))-π/2
    2×atan(0.594309503666242)-π/2
    2×0.536224805494685-π/2
    1.07244961098937-1.57079632675     		φ = -0.49834672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37237384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.335449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49834672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.553164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73304 KachelY 76391 0.37237384 -0.49834672 21.335449 -28.553164
    Oben rechts KachelX + 1 73305 KachelY 76391 0.37242177 -0.49834672 21.338196 -28.553164
    Unten links KachelX 73304 KachelY + 1 76392 0.37237384 -0.49838882 21.335449 -28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 73305 KachelY + 1 76392 0.37242177 -0.49838882 21.338196 -28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49834672--0.49838882) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49834672--0.49838882) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37237384-0.37242177) × cos(-0.49834672) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878373986820565 × 6371000     		do = 268.222063714575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37237384-0.37242177) × cos(-0.49838882) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 268.215918766779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49834672)-sin(-0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878373986820565-0.878353863336989)×R²
    abs(0.37242177-0.37237384)×2.0123483575718e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0123483575718e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0123483575718e-05×40589641000000     		ar = 71941.4564441099m²