Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73302 / 76391
↖ ↑ ↗
← S 28.553164°
E 21.329956°		 ← 268.28 m → S 28.553164°
E 21.332703°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.555576°
E 21.329956°		 ← 268.27 m →
71 956 m²		 S 28.555576°
E 21.332703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559253692626953 y=0.582820892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559253692626953 × 217)
    floor (0.559253692626953 × 131072)
    floor (73302.5)     		tx = 73302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582820892333984 × 217)
    floor (0.582820892333984 × 131072)
    floor (76391.5)     		ty = 76391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73302 / 76391 ti = "17/73302/76391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73302/76391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73302 ÷ 217
    73302 ÷ 131072     		x = 0.559249877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76391 ÷ 217
    76391 ÷ 131072     		y = 0.582817077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559249877929688 × 2 - 1) × π
    0.118499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37227796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582817077636719 × 2 - 1) × π
    -0.165634155273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.52035504537571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37227796} λ = 0.37227796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52035504537571))-π/2
    2×atan(0.594309503666242)-π/2
    2×0.536224805494685-π/2
    1.07244961098937-1.57079632675     		φ = -0.49834672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37227796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.329956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49834672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.553164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73302 KachelY 76391 0.37227796 -0.49834672 21.329956 -28.553164
    Oben rechts KachelX + 1 73303 KachelY 76391 0.37232590 -0.49834672 21.332703 -28.553164
    Unten links KachelX 73302 KachelY + 1 76392 0.37227796 -0.49838882 21.329956 -28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 73303 KachelY + 1 76392 0.37232590 -0.49838882 21.332703 -28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49834672--0.49838882) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49834672--0.49838882) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37227796-0.37232590) × cos(-0.49834672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878373986820565 × 6371000     		do = 268.278024921245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37227796-0.37232590) × cos(-0.49838882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 268.271878691383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49834672)-sin(-0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878373986820565-0.878353863336989)×R²
    abs(0.37232590-0.37227796)×2.0123483575718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0123483575718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0123483575718e-05×40589641000000     		ar = 71956.4661366629m²