Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73293 / 76407
↖ ↑ ↗
← S 28.591757°
E 21.305237°		 ← 268.18 m → S 28.591757°
E 21.307984°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
S 28.594169°
E 21.305237°		 ← 268.17 m →
71 913 m²		 S 28.594169°
E 21.307984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559185028076172 y=0.582942962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559185028076172 × 217)
    floor (0.559185028076172 × 131072)
    floor (73293.5)     		tx = 73293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582942962646484 × 217)
    floor (0.582942962646484 × 131072)
    floor (76407.5)     		ty = 76407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73293 / 76407 ti = "17/73293/76407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73293/76407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73293 ÷ 217
    73293 ÷ 131072     		x = 0.559181213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76407 ÷ 217
    76407 ÷ 131072     		y = 0.582939147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559181213378906 × 2 - 1) × π
    0.118362426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.37184653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582939147949219 × 2 - 1) × π
    -0.165878295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.52112203576963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37184653} λ = 0.37184653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52112203576963))-π/2
    2×atan(0.593853848749724)-π/2
    2×0.535888015052016-π/2
    1.07177603010403-1.57079632675     		φ = -0.49902030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37184653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.305237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49902030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.591757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73293 KachelY 76407 0.37184653 -0.49902030 21.305237 -28.591757
    Oben rechts KachelX + 1 73294 KachelY 76407 0.37189447 -0.49902030 21.307984 -28.591757
    Unten links KachelX 73293 KachelY + 1 76408 0.37184653 -0.49906239 21.305237 -28.594169
    Unten rechts KachelX + 1 73294 KachelY + 1 76408 0.37189447 -0.49906239 21.307984 -28.594169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49902030--0.49906239) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49902030--0.49906239) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37184653-0.37189447) × cos(-0.49902030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878051833858264 × 6371000     		do = 268.179631114342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37184653-0.37189447) × cos(-0.49906239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878031690256884 × 6371000     		du = 268.173478739984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49902030)-sin(-0.49906239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878051833858264-0.878031690256884)×R²
    abs(0.37189447-0.37184653)×2.01436013801404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01436013801404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01436013801404e-05×40589641000000     		ar = 71912.9886859211m²