Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73293 / 76400
↖ ↑ ↗
← S 28.574874°
E 21.305237°		 ← 268.22 m → S 28.574874°
E 21.307984°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
S 28.577286°
E 21.305237°		 ← 268.22 m →
71 925 m²		 S 28.577286°
E 21.307984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559185028076172 y=0.582889556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559185028076172 × 217)
    floor (0.559185028076172 × 131072)
    floor (73293.5)     		tx = 73293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582889556884766 × 217)
    floor (0.582889556884766 × 131072)
    floor (76400.5)     		ty = 76400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73293 / 76400 ti = "17/73293/76400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73293/76400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73293 ÷ 217
    73293 ÷ 131072     		x = 0.559181213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76400 ÷ 217
    76400 ÷ 131072     		y = 0.5828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559181213378906 × 2 - 1) × π
    0.118362426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.37184653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37184653} λ = 0.37184653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52078647747229))-π/2
    2×atan(0.594053154773604)-π/2
    2×0.53603534566867-π/2
    1.07207069133734-1.57079632675     		φ = -0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37184653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.305237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73293 KachelY 76400 0.37184653 -0.49872564 21.305237 -28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 73294 KachelY 76400 0.37189447 -0.49872564 21.307984 -28.574874
    Unten links KachelX 73293 KachelY + 1 76401 0.37184653 -0.49876773 21.305237 -28.577286
    Unten rechts KachelX + 1 73294 KachelY + 1 76401 0.37189447 -0.49876773 21.307984 -28.577286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49872564--0.49876773) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49872564--0.49876773) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37184653-0.37189447) × cos(-0.49872564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 268.222688814095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37184653-0.37189447) × cos(-0.49876773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878172677149509 × 6371000     		du = 268.216539765994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49872564)-sin(-0.49876773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.878172677149509)×R²
    abs(0.37189447-0.37184653)×2.01327108216853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01327108216853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01327108216853e-05×40589641000000     		ar = 71924.5352862127m²