Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73291 / 76389
↖ ↑ ↗
← S 28.548338°
E 21.299744°		 ← 268.23 m → S 28.548338°
E 21.302490°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.550751°
E 21.299744°		 ← 268.23 m →
71 962 m²		 S 28.550751°
E 21.302490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559169769287109 y=0.582805633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559169769287109 × 217)
    floor (0.559169769287109 × 131072)
    floor (73291.5)     		tx = 73291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582805633544922 × 217)
    floor (0.582805633544922 × 131072)
    floor (76389.5)     		ty = 76389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73291 / 76389 ti = "17/73291/76389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73291/76389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73291 ÷ 217
    73291 ÷ 131072     		x = 0.559165954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76389 ÷ 217
    76389 ÷ 131072     		y = 0.582801818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559165954589844 × 2 - 1) × π
    0.118331909179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.37175066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582801818847656 × 2 - 1) × π
    -0.165603637695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.520259171576469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37175066} λ = 0.37175066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520259171576469))-π/2
    2×atan(0.594366485107753)-π/2
    2×0.536266912985151-π/2
    1.0725338259703-1.57079632675     		φ = -0.49826250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37175066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.299744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49826250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.548338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73291 KachelY 76389 0.37175066 -0.49826250 21.299744 -28.548338
    Oben rechts KachelX + 1 73292 KachelY 76389 0.37179859 -0.49826250 21.302490 -28.548338
    Unten links KachelX 73291 KachelY + 1 76390 0.37175066 -0.49830461 21.299744 -28.550751
    Unten rechts KachelX + 1 73292 KachelY + 1 76390 0.37179859 -0.49830461 21.302490 -28.550751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49826250--0.49830461) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49826250--0.49830461) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37175066-0.37179859) × cos(-0.49826250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878414238675165 × 6371000     		do = 268.234355102606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37175066-0.37179859) × cos(-0.49830461) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878394113526672 × 6371000     		du = 268.228209646408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49826250)-sin(-0.49830461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878414238675165-0.878394113526672)×R²
    abs(0.37179859-0.37175066)×2.01251484927001e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01251484927001e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01251484927001e-05×40589641000000     		ar = 71961.842175895m²