Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7329 / 8097
↖ ↑ ↗
← N 79.268939°
W139.740601°		 ← 113.73 m → N 79.268939°
W139.735108°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
N 79.267916°
W139.740601°		 ← 113.74 m →
12 934 m²		 N 79.267916°
W139.735108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111839294433594 y=0.123558044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111839294433594 × 216)
    floor (0.111839294433594 × 65536)
    floor (7329.5)     		tx = 7329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123558044433594 × 216)
    floor (0.123558044433594 × 65536)
    floor (8097.5)     		ty = 8097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7329 / 8097 ti = "16/7329/8097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7329/8097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7329 ÷ 216
    7329 ÷ 65536     		x = 0.111831665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8097 ÷ 216
    8097 ÷ 65536     		y = 0.123550415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111831665039062 × 2 - 1) × π
    -0.776336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.43893358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123550415039062 × 2 - 1) × π
    0.752899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36530250105281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43893358} λ = -2.43893358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36530250105281))-π/2
    2×atan(10.647259137509)-π/2
    2×1.47715015225643-π/2
    2.95430030451285-1.57079632675     		φ = 1.38350398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43893358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.740601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38350398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.268939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7329 KachelY 8097 -2.43893358 1.38350398 -139.740601 79.268939
    Oben rechts KachelX + 1 7330 KachelY 8097 -2.43883771 1.38350398 -139.735108 79.268939
    Unten links KachelX 7329 KachelY + 1 8098 -2.43893358 1.38348613 -139.740601 79.267916
    Unten rechts KachelX + 1 7330 KachelY + 1 8098 -2.43883771 1.38348613 -139.735108 79.267916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38350398-1.38348613) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38350398-1.38348613) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43893358--2.43883771) × cos(1.38350398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186199279012501 × 6371000     		do = 113.728242403651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43893358--2.43883771) × cos(1.38348613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186216816822021 × 6371000     		du = 113.738954283218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38350398)-sin(1.38348613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186199279012501-0.186216816822021)×R²
    abs(-2.43883771--2.43893358)×1.75378095203238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75378095203238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75378095203238e-05×40589641000000     		ar = 12934.0520779498m²