Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7329 / 4774
↖ ↑ ↗
← N 59.822732°
W 18.962402°		 ← 1 228.15 m → N 59.822732°
W 18.940430°		 →
↑
1 228.39 m
↓
↑
1 228.39 m
↓
N 59.811685°
W 18.962402°		 ← 1 228.56 m →
1 508 898 m²		 N 59.811685°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447357177734375 y=0.291412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447357177734375 × 214)
    floor (0.447357177734375 × 16384)
    floor (7329.5)     		tx = 7329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291412353515625 × 214)
    floor (0.291412353515625 × 16384)
    floor (4774.5)     		ty = 4774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7329 / 4774 ti = "14/7329/4774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7329/4774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7329 ÷ 214
    7329 ÷ 16384     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4774 ÷ 214
    4774 ÷ 16384     		y = 0.2913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2913818359375 × 2 - 1) × π
    0.417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31078658321082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31078658321082))-π/2
    2×atan(3.70909007305846)-π/2
    2×1.30744998284285-π/2
    2.61489996568571-1.57079632675     		φ = 1.04410364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04410364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.822732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7329 KachelY 4774 -0.33095635 1.04410364 -18.962402 59.822732
    Oben rechts KachelX + 1 7330 KachelY 4774 -0.33057286 1.04410364 -18.940430 59.822732
    Unten links KachelX 7329 KachelY + 1 4775 -0.33095635 1.04391083 -18.962402 59.811685
    Unten rechts KachelX + 1 7330 KachelY + 1 4775 -0.33057286 1.04391083 -18.940430 59.811685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04410364-1.04391083) × R
    0.000192810000000154 × 6371000     		dl = 1228.39251000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04410364-1.04391083) × R
    0.000192810000000154 × 6371000     		dr = 1228.39251000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33057286) × cos(1.04410364) × R
    0.000383489999999986 × 0.502677008348921 × 6371000     		do = 1228.14790139099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33057286) × cos(1.04391083) × R
    0.000383489999999986 × 0.502843678295094 × 6371000     		du = 1228.55511186853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04410364)-sin(1.04391083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502677008348921-0.502843678295094)×R²
    abs(-0.33057286--0.33095635)×0.000166669946172537×R²
    0.000383489999999986×0.000166669946172537×6371000²
    0.000383489999999986×0.000166669946172537×40589641000000     		ar = 1508897.79506612m²