Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73283 / 78427
↖ ↑ ↗
← S 33.346591°
E 21.277771°		 ← 255.14 m → S 33.346591°
E 21.280518°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.348885°
E 21.277771°		 ← 255.13 m →
65 084 m²		 S 33.348885°
E 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559108734130859 y=0.598354339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559108734130859 × 217)
    floor (0.559108734130859 × 131072)
    floor (73283.5)     		tx = 73283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598354339599609 × 217)
    floor (0.598354339599609 × 131072)
    floor (78427.5)     		ty = 78427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73283 / 78427 ti = "17/73283/78427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73283/78427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73283 ÷ 217
    73283 ÷ 131072     		x = 0.559104919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78427 ÷ 217
    78427 ÷ 131072     		y = 0.598350524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559104919433594 × 2 - 1) × π
    0.118209838867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.37136716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598350524902344 × 2 - 1) × π
    -0.196701049804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.617954573002144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37136716} λ = 0.37136716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617954573002144))-π/2
    2×atan(0.539045889756653)-π/2
    2×0.494394264694586-π/2
    0.988788529389173-1.57079632675     		φ = -0.58200780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37136716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.277771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58200780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.346591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73283 KachelY 78427 0.37136716 -0.58200780 21.277771 -33.346591
    Oben rechts KachelX + 1 73284 KachelY 78427 0.37141510 -0.58200780 21.280518 -33.346591
    Unten links KachelX 73283 KachelY + 1 78428 0.37136716 -0.58204784 21.277771 -33.348885
    Unten rechts KachelX + 1 73284 KachelY + 1 78428 0.37141510 -0.58204784 21.280518 -33.348885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58200780--0.58204784) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58200780--0.58204784) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37136716-0.37141510) × cos(-0.58200780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835360642195181 × 6371000     		do = 255.140642309467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37136716-0.37141510) × cos(-0.58204784) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83533863144624 × 6371000     		du = 255.133919660183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58200780)-sin(-0.58204784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835360642195181-0.83533863144624)×R²
    abs(0.37141510-0.37136716)×2.20107489414811e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20107489414811e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20107489414811e-05×40589641000000     		ar = 65084.2038795359m²