Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73275 / 76243
↖ ↑ ↗
← S 28.195506°
E 21.255799°		 ← 269.13 m → S 28.195506°
E 21.258545°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
S 28.197927°
E 21.255799°		 ← 269.12 m →
72 442 m²		 S 28.197927°
E 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559047698974609 y=0.581691741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559047698974609 × 217)
    floor (0.559047698974609 × 131072)
    floor (73275.5)     		tx = 73275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581691741943359 × 217)
    floor (0.581691741943359 × 131072)
    floor (76243.5)     		ty = 76243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73275 / 76243 ti = "17/73275/76243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73275/76243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73275 ÷ 217
    73275 ÷ 131072     		x = 0.559043884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76243 ÷ 217
    76243 ÷ 131072     		y = 0.581687927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559043884277344 × 2 - 1) × π
    0.118087768554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.37098367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581687927246094 × 2 - 1) × π
    -0.163375854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.513260384231941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37098367} λ = 0.37098367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513260384231941))-π/2
    2×atan(0.598540920695526)-π/2
    2×0.539345957201001-π/2
    1.078691914402-1.57079632675     		φ = -0.49210441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37098367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.255799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49210441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.195506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73275 KachelY 76243 0.37098367 -0.49210441 21.255799 -28.195506
    Oben rechts KachelX + 1 73276 KachelY 76243 0.37103160 -0.49210441 21.258545 -28.195506
    Unten links KachelX 73275 KachelY + 1 76244 0.37098367 -0.49214666 21.255799 -28.197927
    Unten rechts KachelX + 1 73276 KachelY + 1 76244 0.37103160 -0.49214666 21.258545 -28.197927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49210441--0.49214666) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49210441--0.49214666) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37098367-0.37103160) × cos(-0.49210441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881340515792695 × 6371000     		do = 269.127929023869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37098367-0.37103160) × cos(-0.49214666) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881320552657007 × 6371000     		du = 269.12183304023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49210441)-sin(-0.49214666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881340515792695-0.881320552657007)×R²
    abs(0.37103160-0.37098367)×1.99631356883057e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99631356883057e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99631356883057e-05×40589641000000     		ar = 72441.6225814058m²