Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73274 / 76297
↖ ↑ ↗
← S 28.326142°
E 21.253052°		 ← 268.85 m → S 28.326142°
E 21.255799°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.328560°
E 21.253052°		 ← 268.85 m →
72 265 m²		 S 28.328560°
E 21.255799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559040069580078 y=0.582103729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559040069580078 × 217)
    floor (0.559040069580078 × 131072)
    floor (73274.5)     		tx = 73274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582103729248047 × 217)
    floor (0.582103729248047 × 131072)
    floor (76297.5)     		ty = 76297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73274 / 76297 ti = "17/73274/76297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73274/76297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73274 ÷ 217
    73274 ÷ 131072     		x = 0.559036254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76297 ÷ 217
    76297 ÷ 131072     		y = 0.582099914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559036254882812 × 2 - 1) × π
    0.118072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37093573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582099914550781 × 2 - 1) × π
    -0.164199829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.515848976811424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37093573} λ = 0.37093573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515848976811424))-π/2
    2×atan(0.596993545735421)-π/2
    2×0.538205939729921-π/2
    1.07641187945984-1.57079632675     		φ = -0.49438445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37093573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.253052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49438445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.326142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73274 KachelY 76297 0.37093573 -0.49438445 21.253052 -28.326142
    Oben rechts KachelX + 1 73275 KachelY 76297 0.37098367 -0.49438445 21.255799 -28.326142
    Unten links KachelX 73274 KachelY + 1 76298 0.37093573 -0.49442664 21.253052 -28.328560
    Unten rechts KachelX + 1 73275 KachelY + 1 76298 0.37098367 -0.49442664 21.255799 -28.328560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49438445--0.49442664) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49438445--0.49442664) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37093573-0.37098367) × cos(-0.49438445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880260948839819 × 6371000     		do = 268.854351692327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37093573-0.37098367) × cos(-0.49442664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880240929327658 × 6371000     		du = 268.848237218011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49438445)-sin(-0.49442664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880260948839819-0.880240929327658)×R²
    abs(0.37098367-0.37093573)×2.0019512160907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0019512160907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0019512160907e-05×40589641000000     		ar = 72265.2088870263m²