Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73274 / 76250
↖ ↑ ↗
← S 28.212449°
E 21.253052°		 ← 269.14 m → S 28.212449°
E 21.255799°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
S 28.214869°
E 21.253052°		 ← 269.14 m →
72 428 m²		 S 28.214869°
E 21.255799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559040069580078 y=0.581745147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559040069580078 × 217)
    floor (0.559040069580078 × 131072)
    floor (73274.5)     		tx = 73274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581745147705078 × 217)
    floor (0.581745147705078 × 131072)
    floor (76250.5)     		ty = 76250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73274 / 76250 ti = "17/73274/76250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73274/76250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73274 ÷ 217
    73274 ÷ 131072     		x = 0.559036254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76250 ÷ 217
    76250 ÷ 131072     		y = 0.581741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559036254882812 × 2 - 1) × π
    0.118072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37093573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581741333007812 × 2 - 1) × π
    -0.163482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.513595942529282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37093573} λ = 0.37093573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513595942529282))-π/2
    2×atan(0.598340109017185)-π/2
    2×0.539198098363377-π/2
    1.07839619672675-1.57079632675     		φ = -0.49240013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37093573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.253052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49240013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.212449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73274 KachelY 76250 0.37093573 -0.49240013 21.253052 -28.212449
    Oben rechts KachelX + 1 73275 KachelY 76250 0.37098367 -0.49240013 21.255799 -28.212449
    Unten links KachelX 73274 KachelY + 1 76251 0.37093573 -0.49244237 21.253052 -28.214869
    Unten rechts KachelX + 1 73275 KachelY + 1 76251 0.37098367 -0.49244237 21.255799 -28.214869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49240013--0.49244237) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dl = 269.11104000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49240013--0.49244237) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dr = 269.11104000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37093573-0.37098367) × cos(-0.49240013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881200754988935 × 6371000     		do = 269.141392680878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37093573-0.37098367) × cos(-0.49244237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881180785570421 × 6371000     		du = 269.135293506451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49240013)-sin(-0.49244237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881200754988935-0.881180785570421)×R²
    abs(0.37098367-0.37093573)×1.99694185141208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99694185141208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99694185141208e-05×40589641000000     		ar = 72428.0994246255m²