Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73273 / 76298
↖ ↑ ↗
← S 28.328560°
E 21.250305°		 ← 268.85 m → S 28.328560°
E 21.253052°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.330978°
E 21.250305°		 ← 268.84 m →
72 281 m²		 S 28.330978°
E 21.253052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559032440185547 y=0.582111358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559032440185547 × 217)
    floor (0.559032440185547 × 131072)
    floor (73273.5)     		tx = 73273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582111358642578 × 217)
    floor (0.582111358642578 × 131072)
    floor (76298.5)     		ty = 76298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73273 / 76298 ti = "17/73273/76298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73273/76298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73273 ÷ 217
    73273 ÷ 131072     		x = 0.559028625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76298 ÷ 217
    76298 ÷ 131072     		y = 0.582107543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559028625488281 × 2 - 1) × π
    0.118057250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37088779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582107543945312 × 2 - 1) × π
    -0.164215087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515896913711044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37088779} λ = 0.37088779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515896913711044))-π/2
    2×atan(0.596964928401664)-π/2
    2×0.538184841479472-π/2
    1.07636968295894-1.57079632675     		φ = -0.49442664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37088779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49442664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.328560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73273 KachelY 76298 0.37088779 -0.49442664 21.250305 -28.328560
    Oben rechts KachelX + 1 73274 KachelY 76298 0.37093573 -0.49442664 21.253052 -28.328560
    Unten links KachelX 73273 KachelY + 1 76299 0.37088779 -0.49446884 21.250305 -28.330978
    Unten rechts KachelX + 1 73274 KachelY + 1 76299 0.37093573 -0.49446884 21.253052 -28.330978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49442664--0.49446884) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dl = 268.856200000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49442664--0.49446884) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dr = 268.856200000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37088779-0.37093573) × cos(-0.49442664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880240929327658 × 6371000     		do = 268.848237218323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37088779-0.37093573) × cos(-0.49446884) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88022090350303 × 6371000     		du = 268.842120816016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49442664)-sin(-0.49446884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880240929327658-0.88022090350303)×R²
    abs(0.37093573-0.37088779)×2.00258246281226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00258246281226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00258246281226e-05×40589641000000     		ar = 72280.6932296797m²