Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73273 / 76249
↖ ↑ ↗
← S 28.210029°
E 21.250305°		 ← 269.15 m → S 28.210029°
E 21.253052°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
S 28.212449°
E 21.250305°		 ← 269.14 m →
72 430 m²		 S 28.212449°
E 21.253052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559032440185547 y=0.581737518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559032440185547 × 217)
    floor (0.559032440185547 × 131072)
    floor (73273.5)     		tx = 73273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581737518310547 × 217)
    floor (0.581737518310547 × 131072)
    floor (76249.5)     		ty = 76249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73273 / 76249 ti = "17/73273/76249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73273/76249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73273 ÷ 217
    73273 ÷ 131072     		x = 0.559028625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76249 ÷ 217
    76249 ÷ 131072     		y = 0.581733703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559028625488281 × 2 - 1) × π
    0.118057250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.37088779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581733703613281 × 2 - 1) × π
    -0.163467407226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.513548005629662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37088779} λ = 0.37088779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513548005629662))-π/2
    2×atan(0.598368792274417)-π/2
    2×0.539219219618761-π/2
    1.07843843923752-1.57079632675     		φ = -0.49235789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37088779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49235789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.210029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73273 KachelY 76249 0.37088779 -0.49235789 21.250305 -28.210029
    Oben rechts KachelX + 1 73274 KachelY 76249 0.37093573 -0.49235789 21.253052 -28.210029
    Unten links KachelX 73273 KachelY + 1 76250 0.37088779 -0.49240013 21.250305 -28.212449
    Unten rechts KachelX + 1 73274 KachelY + 1 76250 0.37093573 -0.49240013 21.253052 -28.212449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49235789--0.49240013) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49235789--0.49240013) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37088779-0.37093573) × cos(-0.49235789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881220722835195 × 6371000     		do = 269.14749137541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37088779-0.37093573) × cos(-0.49240013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881200754988935 × 6371000     		du = 269.141392681189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49235789)-sin(-0.49240013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881220722835195-0.881200754988935)×R²
    abs(0.37093573-0.37088779)×1.99678462601272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99678462601272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99678462601272e-05×40589641000000     		ar = 72429.7407152292m²