Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73271 / 76356
↖ ↑ ↗
← S 28.468691°
E 21.244812°		 ← 268.49 m → S 28.468691°
E 21.247559°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 28.471106°
E 21.244812°		 ← 268.49 m →
72 083 m²		 S 28.471106°
E 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559017181396484 y=0.582553863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559017181396484 × 217)
    floor (0.559017181396484 × 131072)
    floor (73271.5)     		tx = 73271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582553863525391 × 217)
    floor (0.582553863525391 × 131072)
    floor (76356.5)     		ty = 76356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73271 / 76356 ti = "17/73271/76356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73271/76356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73271 ÷ 217
    73271 ÷ 131072     		x = 0.559013366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76356 ÷ 217
    76356 ÷ 131072     		y = 0.582550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559013366699219 × 2 - 1) × π
    0.118026733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37079192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518677253889008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37079192} λ = 0.37079192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518677253889008))-π/2
    2×atan(0.595307468045925)-π/2
    2×0.536961964967674-π/2
    1.07392392993535-1.57079632675     		φ = -0.49687240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37079192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.244812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49687240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.468691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73271 KachelY 76356 0.37079192 -0.49687240 21.244812 -28.468691
    Oben rechts KachelX + 1 73272 KachelY 76356 0.37083986 -0.49687240 21.247559 -28.468691
    Unten links KachelX 73271 KachelY + 1 76357 0.37079192 -0.49691454 21.244812 -28.471106
    Unten rechts KachelX + 1 73272 KachelY + 1 76357 0.37083986 -0.49691454 21.247559 -28.471106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49687240--0.49691454) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49687240--0.49691454) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37079192-0.37083986) × cos(-0.49687240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879077718559408 × 6371000     		do = 268.492962708654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37079192-0.37083986) × cos(-0.49691454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879057630548121 × 6371000     		du = 268.486827312941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49687240)-sin(-0.49691454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879077718559408-0.879057630548121)×R²
    abs(0.37083986-0.37079192)×2.0088011286834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0088011286834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0088011286834e-05×40589641000000     		ar = 72082.5399745471m²